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Algorithm partI 第2节课 Union?Find
发展一个有效算法的具体（一般）过程：
union-find用来解决dynamic connectivity，下面主要讲quick find和quick union及其应用和改进。
基本操作：find/connected queries和union commands
动态连接性问题的场景：
1.1 建立模型（Model the problem）：
关于object：0-N-1
关于连接的等价性：
关于连接块：
关于基本操作find query和union command：
比如union操作：
目标：
练习：
答案：C。最后剩下的连接块有{0,5,6}{3,4}{1,2,7,8,9}。
1.2 算法及其改进（Algorithm and improvement）：
1.2.1 Quick Find
实现过程：
1 public class QuickFindUF 2 { 3 private int[] id; 4 5 public QuickFindUF(int N) 6 { 7 id = new int[N]; 8 for (int i = 0; i < N; i++) 9 id[i] = i;10 }11 12 public boolean connected(int p, int q)13 { return id[p] == id[q]; }14 15 public void union(int p, int q)16 {17 int pid = id[p];18 int qid = id[q];19 for (int i = 0; i < id.length; i++)20 //这里有个约定：21 //p和q联合的时候，所有和p是一个连接块（connected conponents）的点的id都要设置为与id[q]相等22 if (id[i] == pid) id[i] = qid;23 }24 }
各个函数的时间复杂度：
弊端：
对N个实体做N次的union操作，时间复杂度是O(N2)。换言之，Quick find太慢，不适合大量的数据。
练习：
答案：C。最差情况就是除了id[q]，其他元素都要改变。
1.2.2 Quick Union
说明：
实现过程：
1 public class QuickUnionUF 2 { 3 private int[] id;//id[i],节点i的父节点 4 5 public QuickFindUF(int N) 6 { 7 id = new int[N]; 8 //划分为N棵子树，每个子树的根节点就是本身 9 for (int i = 0; i < N; i++)10 id[i] = i;11 }12 13 private int root(int i)//找打i所在子树的根节点14 {15 //如果id[i] == i,说明i是某一棵子树的根节点16 while (i != id[i]) i = id[i];17 return i;18 }19 20 public boolean connected(int p, int q)21 { 22 return root(p) == root(q);23 }24 25 public void union(int p, int q)//将p所在子树的根节点的父节点设为q所在子树的根节点26 {27 int i = root(p);28 int j = root(q);29 id[i] = j;30 }31 }
各个操作的时间复杂度：注意quick union的union和find是最差情况（例如，形成的子树很高）的时间复杂度。
弊端：
练习：
答案：D。3的根节点是6:3->5->2->6。7的根节点是6:7->1->9->5->2->6。
练习：
答案：C
1.2.3 Weighted quick union
Improvement 1：weighting。为每个树保留track记录树的规模；union的时候将规模小的树的根节点添加为规模大的树的根节点的子节点。主要针对Quick union中容易出现树很高的情况。
实现过程：
1 public class WeightedQuickUnionUF { 2 private int[] id,sz; 3 4 public WeightedQuickUnionUF(int N) 5 { 6 id = new int[N]; 7 sz = new int[N];//记录以i为根节点的树的节点个数 8 for (int i = 0; i < N; i++) 9 {10 sz[i] = 1;11 id[i] = i;12 } 13 }14 15 private int root(int i)//和quick union相同16 {17 while (i != id[i]) i = id[i];18 return i;19 }20 21 public boolean connected(int p, int q)//和quick union相同22 { 23 return root(p) == root(q);24 }25 26 public void union(int p, int q)27 {28 int i = root(p);29 int j = root(q);30 if (i == j) return;31 if (sz[i] < sz[j]){id[i] = j; sz[j] += sz[i];}32 else {id[j] = i; sz[i] += sz[j];}33 }34 }
各个函数的时间复杂度：注意到weighted quick union中的union和connected操作的时间复杂度都是log2N。
命题：按照Weighted quick union实现的树的任意一个节点的深度不会超过log2N。
证明：关注任意节点x。
1. 只有当包含x的子树T1作为lower tree被合并的时候，x的深度才有可能增加1。
2. 另一棵树T2，其中sz[T2]>=sz[T1]。
每合并1次，树的规模*2，并且最后的树的规模==N，所以x最多只能增加log2N次，意味着节点x最后的深度不会超过log2N。
Weighted quick union和Quick union的比较实例：
Weighted quick union实现结果更加均衡，叶节点到根的距离最大为4，每个节点到根节点的距离的平均要远远小于Quick union的结果。
1.2.4 Weighted quick union with path compressioin
Improvement 2：path compression。就是路径压缩。
实现过程有2种方式：主要区别是root函数的实现。
1. 找到当前点x的根节点后，将x与根节点相连路径上的所有节点的父节点设为根节点。
2. 在寻找当前点x的根节点的过程中，直接将x的父节点设置为x的父节点的父节点。
下面只展示union函数的实现：
方式1：
1 private int root(int i)2 {3 if (id[i] == i) return i;//只有指向根节点才返回4 return id[i] = root(id[i]);5 }
方式2：
1 private int root(int i)2 {3 while (i != id[i])4 {5 id[i] = id[id[i]];//指向父节点的父节点6 i = id[i];7 }8 return i;9 }
对N个点使用Weighted quick union with path compressioin中的union find操作m次的时间复杂度：
关于lg*的解释：http://stackoverflow.com/questions/2387656/what-is-olog-n/2387669
log* (n)- "log Star n" as known as "Iterated logarithm"
In simple word you can assume log* (n)= log(log(log(.....(log* (n))))
已经证明，union find问题的时间复杂度不可能到O(N)。
练习：
答案：
总结：
Algorithm partI 第2节课 Union?Find