因为没多少时间所以挑几道最近做的有意思的题目写写。

在 N*M 的方格中选出三个记为 A, B, C，则费用为 |AB|+|BC|+|AC|.（|AB| 表示 AB 两点之间的曼哈顿距离。）求费用在区间 [minT, maxT] 内的选择方案数。N, M <= 4000。

我们可以考虑任意的三对坐标，$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$，如果我们淡化「点」的概念而只考虑坐标，假设 $x_1$ 是三个点的横坐标中最小的那个，$x_3$ 是最大的横坐标，$y_1$ 是最小的纵坐标，$y_3$ 是最大的纵坐标。其实很容易发现，$x_2$ 与 $y_2$ 对结果是没有影响的。则 $x_2$ 的取值范围是 $(x_1, x_3)$，$y_2$ 的取值范围是 $(y_1, y_3)$。而由三个横坐标和三个纵坐标可以确定出 $A_3^3$ 组三点对，所以对于一组 $x_1, y_1, x_3, y_3$，我们可以得到 $A_3^3 \cdot (x_3-x_1+1)(y_3-y_1+1)$ 组三点对。

但是如果直接枚举 $x_1, y_1, x_3, y_3$ 再判定是否合法显然不够快。在我们得到一组 $x_1, x_3, y_1, y_3$ 之后，由其构造出的三点对的费用为 $2(y_3-y_1)(x_3-x_1)$。从这个式子我们可以看出，某次选择的费用只与选择的三个点的「最大横坐标与最小横坐标之差」和「最大纵坐标与最小纵坐标之差」有关。那么我们直接枚举这两个差值即可。对于差值为 $delta$ 的一对 $x_1, x_3$，我们能够在所有方格中找到 $m - delta$ 组不同的 $x_1, x_3$。至此，问题解决。

顺便一提，上述所谓「枚举差值」的本质就是枚举「能够恰好包含三个点的最小矩形的长和宽」。

有两个人 A 和 B，初始分数都为 0。每次 A 可以选择任意一个任务做，一个难度为 $p$ 的任务，完成概率为 $\frac{1}{2^p}$，完成后可以得到 $2^{p-1}$ 分，没有完成则不得分；每次 B 只能选择难度为 1 的任务去做。求在最优决策下 A 获胜的概率是多少。

我们可以将 A 和 B 捆绑在一起分析，对于每一轮都可能有 4 种走向：A 完成了一个任务而 B 没有完成，A 没有完成而 B 完成了，A 完成了且 B 也完成了，A 和 B 都没有完成。设 $f(i, j)$ 为 A 当前得分 i 而 B 当前得分 j 时 A 获胜的概率，如果 A 选择了难度为 p 的任务，那么有

$f(i, j) = \frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2^p} \cdot (f(i+2^{p-1}, j) + f(i+2^{p-1}, j+1)) +(1-\frac{1}{2^p})\cdot \frac{1}{2}\cdot f(i, j+1)+ (1-\frac{1}{2^p}) \cdot \frac{1}{2} \cdot f(i, j)}{4}$

（放大看更清楚哟~）

我们发现等式两边都出现了 $f(i, j)$，那么我们进行移项整理，就能得出 $f(i, j)$ 的计算式。（太长不打）

然后枚举 A 当前做的任务难度 $p$，取最大值即可。

一些题目（4）