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graph | hungary
匈牙利算法，求二分图最大匹配。
若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。（M为一个匹配）
由增广路的定义可以推出下述三个结论：
- P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。所以Line 25-27从first part出发，不从二分图的另一部分出发。Line 12实现了交替出现的逻辑；node->neig匹配，当且仅当neig没有被其他点匹配，或者neig被first中的其他点matches[neig]匹配，并且从matches[neig]能够找到一条增广路径。这里就实现了交替的逻辑了。
- 将M和P进行异或操作(去同存异)可以得到一个更大的匹配M’。这是因为，属于M的边和不属于M的边交替出现，且第一和最后一条边都不属于M，所以增广路径中，不属于M的边比属于M的边多1，去同存异之后，一定会得到一个更大的匹配（加1了）。Line 13实现的是去同存异的逻辑。如果从node到neig存在一条增广路径，那么中间这些相同的部分直接省略。
- M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <vector> 4 5 using namespace std; 6 7 bool augment(vector<vector<int> > &adj, int node, 8 vector<bool> &visited, vector<int> &matches) { 9 for (auto neig : adj[node]) {10 if (!visited[neig]) {11 visited[neig] = true;12 if (matches[neig] == -1 || augment(adj, matches[neig], visited, matches)) {13 matches[neig] = node;14 return true;15 }16 }17 }18 return false;19 }20 21 int hungary(vector<vector<int> > &adj, vector<int> &first) {22 vector<bool> visited;23 vector<int> matches(adj.size(), -1); 24 int count = 0;25 for (auto f : first) {26 visited.assign(adj.size(), false);27 if (augment(adj, f, visited, matches)) {28 count++;29 }30 }31 for (int i = 0; i < adj.size(); ++i) {32 cout << i << "<->" << matches[i] << endl;33 }34 return count;35 }36 37 int main(int argc, char** argv) {38 freopen("input.txt", "r", stdin);39 int first, n, m;40 cin >> n >> first >> m;41 vector<vector<int> > adj(n);42 vector<int> left;43 for (int i = 0; i < first; ++i) {44 int l;45 cin >> l;46 left.push_back(l);47 }48 for (int i = 0; i < m; ++i) {49 int n1, n2;50 cin >> n1 >> n2;51 adj[n1].push_back(n2);52 adj[n2].push_back(n1);53 }54 55 cout << hungary(adj, left) << endl;56 return 0;57 }
假设左边结点个数为n, 右边结点个数为m，这里用了visited来确保右边的点不会重复访问，时间复杂度还是是O(nmn)，如果把邻接表用list而不是vector的话，访问过的右边结点删去，那么开销可以在O(nm）了。因为右边结点只需访问一次。
空间复杂度是O(m+n)。
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