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并查集基础

这里介绍并查集（Union Find），它是一种很不一样的树形结构

并查集的作用：可以非常高效地回答连接问题

「连接问题，即 Connection Problem」

首先简单的采用可视化的方式来看连接问题，如下：

在上图中有若干个点，点与点之间有可能相连

有这么一个问题：某两个点是不是连接在一起

如果这两个点比较近，通过这张图就可以非常容易看出来，它们是否

连接在一起

如果这两个点比较远，比如：左上角的点和右下角的点，只是通过人

眼来看这张图，就很难非常快速地回答这个问题

那么在这种情况下，就需要使用计算机，可是计算机如何高效地回答

这个问题呢？并查集这种数据结构就提供了一个非常好的解决方案

可能有人会问，在这样一张图判断两个点是否连接在一起，意义何在？

事实上，这只是一个抽象的问题的模型表述。连接问题在实际应用中

有着非常重要的作用

连接问题

连接问题最主要的一个作用就是可以判断网络中节点间的连接状态

注意：这里的 网络 是一个非常抽象的概念，并不一定就具体的代表

计算机网络

如：一个大型的社交网络，也是网络，即 用户之间形成的网络

在 FaceBook 中，用户和用户之间形成了好友的关系。那么这个好友的关系，

就是一种连接的关系，FaceBook 有很多用户，他们之间通过这种好友关系

的连接，就形成了一个巨大的网络

那么在 FaceBook 中就能问这样一个问题：任意的两个人A 和 B，他们之间

是否能够通过好友直接互相认识？这就是一个典型的连接问题

当然，网络不仅仅包含用户之间形成的社交网络，一个巨大的数据库中

有很多的音乐、电影、书籍 … 这些多媒体之间也可以形成网络

更不用提互联网的网页之间，本身形成的也是网络，路由器和路由器之间

的数据交换形成的也是网络，另外还有 道路交通、航班调度 … 这些全部

可以形成网络

那么在这些网络中，都可以使用并查集来回答类似的连接问题

集合

并查集还有另外一个非常重要的作用，就是可以实现数学中的集合

「数学中的集合类实现」

通过并查集的名字，大概也能看出来，并查集的并，其实就是实现

一个并集的意思

所以，在使用数学中集合的思路解决问题时，如果经常使用并集操

作，同时需要查询元素在集合中的状态的话，并查集也是一个非常

好的选择

路径问题

可能有人看到了连接问题，就会想到一个相应的问题，叫做 路径问题

熟悉算法的人都会知道，经常会有这样的问题：这些节点之间既然已经

能够连接了，那么能不能从一个节点通过一条路径到达另外一个节点？

路径问题，在图论中会有所涉及

连接问题与路径问题

连接问题和路径问题的区别：连接问题 比 路径问题 回答的问题要少

不难想象，路径问题直接求出了两个节点之间连接的路径，具体是什

么，而连接问题只需要回答两个节点之间是否相连就够了

正因为连接问题回答的问题比路径问题少，所以能设计出更快的算法

来解决连接问题，而不求出两个节点之间具体的路径

事实上，在计算机算法领域，经常会遇到类似的问题，即 并不需要回答

那么多问题，也正因为如此，可以设计出更高效的算法

如下：

（1）和 二分查找 作比较

现在要在一个有序数组中查找一个元素，可以使用二分查找法，也可以

使用顺序查找法

其中，二分查找法是 O(lgn) 的复杂度，顺序查找法是 O(n) 的复杂度

为什么顺序查找法会更慢一些呢？

一个更重要的原因就是：顺序查找法不仅查找到了这个元素，顺序查找

法还找到了这个元素在整个数组中的排名。也就是说，顺序查找法顺便

回答了 rank 这个问题

不仅如此，顺序查找法还把查找到的这个元素之前的所有元素的排名，

全部顺道求了出来，只不过我们不关心，所以没有存储，但是这个过

程都遍历了一遍。所以，二分查找法更高效

（2）和 select 作比较

现在要在任意一个数组中找出排名第 n 的元素，可以使用快速排序的

partition 的思路，设计出一个 select 算法。不过对于这种问题，一

个更直观的想法是：可以直接把这个无序数组排一遍序，当排好序之

后，就能直接找到排名为 n 的元素

其中，使用快排的思路实现的 select，是 O(n) 级别的复杂度，而先

排序再求出排名第 n 的元素，是 O(n*lgn) 的复杂度

为什么排一遍序会更慢一些呢？

一个更重要的原因，就是排好序以后，不仅能够回答排名第 n 的元素

是多少，还能回答排名是 n-1 的元素是多少，n-2 的元素是多少 …

事实上，可以回答排名第 x 的元素是多少（0 <= x <= n）

也就是说，排好序之后，能够回答的问题更多。而使用快排的思路实

现的 select，能够回答的问题相对少一些，也正因为如此，这个算法

更高效

（3）和 堆 作比较

用堆这种数据结构，可以非常快速的找出数据中的最大值和最小值

堆这种数据结构之所以高效，也是因为在问题模型中，我们只关心

最大值 和 最小值，不关心第二名、第三名 …

正是应用了这样的性质，设计出了堆这种高效的数据结构

所以，当针对一个某问题设计出一个算法后，不妨问问自己，我们

所实现的这个算法除了回答了问题本身之外，是不是额外回答了一

些别的问题

如果我们的算法额外回答了一些别的问题，那么很有可能存在一个

更高效的算法。它之所以高效，正是因为它没有回答额外问题

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并查集