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高等代数葵花宝典—白皮书
我第一次接触白皮书是和高中同学钟梓源（复旦数学学院 16 级）的交流当中发现的，记得是上半期开学之后，钟梓源给我发了几张他们高等代数“练习册”的照片，还记得是矩阵的 Kronecker 积和摄动法之类的，当时大为惊讶，我虽然对这些东西有所耳闻，但均来源于杂乱无章的各种资料。照片上的几道题均有十足的难度，我当下决定买一本，便开始阅读了起来。现在已经过去大半年，高等代数已经学完了最后一章的内容，白皮书也陪伴我度过了一个半学期。现在，我大概把白皮书上的题目全部做了一遍，不得不惊叹于白皮书乃一本“葵花宝典”。
一、大量的补充知识
白皮书中拥有许多补充知识，很多内容都让我大开眼界。比如
- 摄动法，摄动法是一种十分有用且巧妙的方法，在一些书上也有所提及，但没有专门的讲解。白皮书上对于摄动法给了具体的说明，让我又对摄动法有新的体会。
- 矩阵的 Kronecker 积，矩阵的 Kronecker 积即两个线性变换张量积的矩阵表示，有些书也提到过。白皮书对此进行了系统的整理，并在特征值部分对矩阵 Kronecker 积进行补充。
- 结式与判别式一节有大量关于判别式、结式的公式。
- 一般域上的 Jordan 标准型，即广义 Jordan 标准型内容也十分经典。对于非代数闭域（有域上 2 次及以上的不可约多项式），矩阵相似标准型是一个很重要的问题，但由于比较复杂，很难见到如此细致的整理。
- Legendre 多项式。
- 矩阵的 Moore-Penrose 广义逆以及线性方程组解的逼近。
另外，书中还隐藏着一些内容衔接的信息，比如域扩张次数的公式等。
二、代数方法和几何方法并用
对于高等代数问题，有两种不同的风格，即代数方法和几何方法。代数方法直接从矩阵入手，把一切问题都转化成矩阵的问题，然后利用矩阵的技巧进行运算；而另一方面，也可以将矩阵的问题转化为线性空间以及线性变换的问题。而白皮书把两种方法均做到了极致。
在代数方面，常常看到利用分块矩阵谈笑风生，利用秩不等式扭转乾坤，出其不意，用巧妙的矩阵运算化解复杂问题，比如例 2.61，例 3.60，例 4.53，例 6.45 等等。有些时候，矩阵的做法难以想到或技巧性较强，又有对应的几何做法来化解，通过构造线性空间，考虑其线性变换及其不变子空间，又有另一片天地。白皮书中利用几何方法推导幂零矩阵的 Jordan 标准型是我以前从来未见到过的，相对于高深的有限生成模分解，这种接地气的几何证明的确十分巧妙。另外，有关正规算子部分，也利用几何方法推导出其性质，相比于算矩阵来说，更加贴近本质。
三、题目新颖
相比于其他书而言，白皮书更像是一本“高等代数习题集”而不是“高等代数陈题集”，上面有很多问题我自己在其他国内外的书上均没有见过，并且难度十足。令我印象最深的就是“迹为0为换位子”，即若 $n$ 阶矩阵 $C$ 满足$ \mathrm{tr}(C)=0$ ，则存在矩阵 $A$ 和 $B$ ，使得 $C=AB-BA$，这道题目在我们上半学期上课的时候，有同学提出但同学和老师均未给出解答，就此搁置。这学期的时候，老师给我们发了一篇英文论文，证明的就是这个问题。但阅读白皮书时才发现这道题已经在白皮书上出现了！利用有理标准型也可以给出一个相当简洁的证明。不得不惊叹于白皮书的博大精深。
四、前后联系紧密
对于我自己而言，数学的一大魅力，在于用新的数学理论解决以前无法解决的问题。在看书的时候，书前面抛出问题，而在后面用新的观点看它，实乃一大乐事。这样就能体会到数学的统一性，让人明白，创造理论就是为了解决问题。而白皮书，正好做到了这一点，前后联系是非常紧密的。下面举一些例子来说明。
- 例 1.16 给出了 Cauchy 行列式的计算，在例 8.27 在判断矩阵 $a_{ij} = \dfrac {1}{i+j}$ 正定时，正好用上。
- 例 2.19 给出了 $B^{-1}-A^{-1}$ 的计算公式，后面才发现这是为了证明，若 $A>B>0$ 则 $B^{-1}>A^{-1}$ 。
- 第 8 章从矩阵角度给出了 Cholesky 分解，第 9 章又从内积空间的角度重新提及。
高等代数葵花宝典—白皮书
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