首页 > 代码库 > 回溯法——批处理作业调度
回溯法——批处理作业调度
问题描述：
给定n个作业的集合J=（J1，J2，... ，Jn）。每一个作业Ji都有两项任务分别在2台机器上完成。每个作业必须先有机器1处理，然后再由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理时间。则所有作业在机器2上完成处理时间和f=F2i，称为该作业调度的完成时间和。
简单描述：
对于给定的n个作业，指定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。
举例说明：
| tji | 机器1 | 机器2 |
| 作业1 | 2 | 1 |
| 作业2 | 3 | 1 |
| 作业3 | 2 | 3 |
这3个作业的调度方案共有6种（即3个作业的全排列），分别是123,132,213,231,312,321，它们所相应的完成时间和分别是19,18,20,21,19,19。显而易见，最佳调度方案是132，其完成时间和为18。
算法设计：
从n个作业中找出有最小完成时间和的作业调度，所以批处理作业调度问题的解空间是一棵排列树。按照回溯法搜索排列树的算法框架，设开始时x=[1,2, ... , n]是所给的n个作业，则相应的排列树由x[1:n]的所有排列构成。
类Flowshop的数据成员记录解空间的结点信息，以便减少传给Backtrack的参数。二维数组M是输入作业的处理时间，bestf记录当前最小完成时间和，bestx记录相应的当前最佳作业调度。
在递归函数Backtrack中，
当i>n时，算法搜索至叶子结点，得到一个新的作业调度方案。此时算法适时更新当前最优值和相应的当前最佳调度。
当i<n时，当前扩展结点位于排列树的第（i-1）层，此时算法选择下一个要安排的作业，以深度优先方式递归的对相应的子树进行搜索，对不满足上界约束的结点，则剪去相应的子树。
算法描述：
注：1、区分作业i和当前第i个正在执行的作业
给x赋初值，即其中一种排列，如x=[1,3,2]；M[x[j]][i]代表当前作业调度x排列中的第j个作业在第i台机器上的处理时间；如M[x[2]][1]就意味着作业3在机器1上的处理时间。
2、bestf的初值
此问题是得到最佳作业调度方案以便使其完成时间和达到最小，所以当前最优值bestf应该赋值为较大的一个值。
3、f1、f2的定义与计算
假定当前作业调度排列为：x=[1,2,3]；f1[i]即第i个作业在机器1上的处理时间，f2[j]即第j个作业在机器2上的处理时间；则：
f1[1]=M[1][1] , f2[1]=f1[1]+M[1][2]
f1[2]=f1[1]+M[2][1] , f2[2]=MAX(f2[1],f1[2])+M[2][2] //f2[2]不光要等作业2自己在机器1上的处理时间，还要等作业1在机器2上的处理时间，选其大者。
f1[3]=f1[2]+M[3][1] , f2[3]=MAX(f2[2],f1[3])+M[3][2]
f1只有当前值有用，可以覆盖赋值，所以定义为int型变量即可，减少空间消耗；f2需要记录每个作业的处理时间，所以定义为int *型，以便计算得完成时间和。
4、f2[0]的初值
f2[i]的计算都是基于上一个作业f2[i-1]进行的，所以要记得给f2平[0]赋值为0。
1 class Flowshop 2 { 3 friend Flow(int * *,int,int[]); 4 private: 5 void Backtrack(int i); 6 int * * M, //各作业所需的处理时间，根据上面的例子就是4*3的矩阵————M[j][i]代表第j个作业在第i台机器上的处理时间 7 * x, //当前作业调度————其中一种排列顺序 8 * bestx, //当前最优作业调度 9 * f2, //机器2完成处理时间————记录每个作业在机器2上的完成时间10 f1, //机器1完成处理时间————定义int型，减少空间消耗（因为只有当前的f1有用，所以可以覆盖赋值）11 f, //完成时间和12 bestf, //当前最优值13 n; //作业树14 };15 void Flowshop::Backtrack(int i)16 {17 if(i>n)18 {19 for(int j=1;j<=n;j++)20 bestx[j] = x[j];21 bestf = f;22 }23 else24 {25 for(int j=i;j<=n;j++) //排列树中j从i开始————控制分支数26 {27 f1+=M[x[j]][i]; //在第1台机器上的完成处理时间————着重关注M矩阵的行标（代表当前执行的作业，是动态变化的）28 f2[i]=((f2[i-1]>f1)?f2[i-1]:f1)+M[x[j]][2]; //在机器2上的完成处理时间，f2[0]初值赋为029 f+=f2[i]; //总的完成时间和30 if(f<bestf) //剪枝函数31 {32 Swap(x[i],x[j]);33 Backtrack(i+1);34 Swap(x[i],x[j]);35 }36 f1 -= M[x[j]][1]; //改变机器完成时间计数————递归返回时37 f -= f2[i];38 }39 }40 }41 int Flow(int * * M,int n,int bestx[])42 {43 int ub = INT_AMX;44 Flowshop X;45 X.x = new int [n+1];46 X.f2 = new int [n+1];47 X.M = M;48 X.n = n;49 X.bestf = ub;50 X.bestx = bestx;51 X.f1 = 0;52 X.f = 0;53 for(int i=0;i<=n;i++)54 {55 X.f2[i] = 0;56 X.x[i] i;57 }58 X.Backtrack(1);59 delete [] X x;60 delete [] X f2;61 return X.bestf;62 }回溯法——批处理作业调度