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回溯法——批处理作业调度

2024-07-04 14:29:52   277人阅读

问题描述：

　　给定n个作业的集合J=（J1，J2，... ，Jn）。每一个作业Ji都有两项任务分别在2台机器上完成。每个作业必须先有机器1处理，然后再由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理时间。则所有作业在机器2上完成处理时间和f=F2i，称为该作业调度的完成时间和。

简单描述：

　　对于给定的n个作业，指定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。

举例说明：

tji 机器1 机器2
作业1 2 1
作业2 3 1
作业3 2 3

 

 

 

　　

　　这3个作业的调度方案共有6种（即3个作业的全排列），分别是123,132,213,231,312,321，它们所相应的完成时间和分别是19,18,20,21,19,19。显而易见，最佳调度方案是132，其完成时间和为18。

算法设计：

　　从n个作业中找出有最小完成时间和的作业调度，所以批处理作业调度问题的解空间是一棵排列树。按照回溯法搜索排列树的算法框架，设开始时x=[1,2, ... , n]是所给的n个作业，则相应的排列树由x[1:n]的所有排列构成。

　　类Flowshop的数据成员记录解空间的结点信息，以便减少传给Backtrack的参数。二维数组M是输入作业的处理时间，bestf记录当前最小完成时间和，bestx记录相应的当前最佳作业调度。

　　在递归函数Backtrack中，

　　　　当i>n时，算法搜索至叶子结点，得到一个新的作业调度方案。此时算法适时更新当前最优值和相应的当前最佳调度。

　　　　当i<n时，当前扩展结点位于排列树的第（i-1）层，此时算法选择下一个要安排的作业，以深度优先方式递归的对相应的子树进行搜索，对不满足上界约束的结点，则剪去相应的子树。

算法描述：

注：1、区分作业i和当前第i个正在执行的作业

　　　　　　给x赋初值，即其中一种排列，如x=[1,3,2]；M[x[j]][i]代表当前作业调度x排列中的第j个作业在第i台机器上的处理时间；如M[x[2]][1]就意味着作业3在机器1上的处理时间。

　　2、bestf的初值

　　　　　　此问题是得到最佳作业调度方案以便使其完成时间和达到最小，所以当前最优值bestf应该赋值为较大的一个值。

　　3、f1、f2的定义与计算

　　　　　　假定当前作业调度排列为：x=[1,2,3]；f1[i]即第i个作业在机器1上的处理时间，f2[j]即第j个作业在机器2上的处理时间；则：

　　　　　　f1[1]=M[1][1] , f2[1]=f1[1]+M[1][2]

　　　　　　f1[2]=f1[1]+M[2][1] , f2[2]=MAX(f2[1],f1[2])+M[2][2]　//f2[2]不光要等作业2自己在机器1上的处理时间，还要等作业1在机器2上的处理时间，选其大者。

　　　　　　f1[3]=f1[2]+M[3][1] , f2[3]=MAX(f2[2],f1[3])+M[3][2]

　　　　f1只有当前值有用，可以覆盖赋值，所以定义为int型变量即可，减少空间消耗；f2需要记录每个作业的处理时间，所以定义为int *型，以便计算得完成时间和。

　　4、f2[0]的初值

　　　　　　f2[i]的计算都是基于上一个作业f2[i-1]进行的，所以要记得给f2平[0]赋值为0。

 1 class Flowshop
 2 {
 3     friend Flow(int * *,int,int[]);
 4 private:
 5     void Backtrack(int i);
 6     int * * M,　　　　　　//各作业所需的处理时间，根据上面的例子就是4*3的矩阵————M[j][i]代表第j个作业在第i台机器上的处理时间
 7         * x,　　　　　　　//当前作业调度————其中一种排列顺序
 8         * bestx,　　　　 //当前最优作业调度
 9         * f2,　　　　　　 //机器2完成处理时间————记录每个作业在机器2上的完成时间
10         f1,　　　　　　　　//机器1完成处理时间————定义int型，减少空间消耗（因为只有当前的f1有用，所以可以覆盖赋值）
11         f,　　　　　　　　//完成时间和
12         bestf,　　　　　　//当前最优值
13         n;　　　　　　　　//作业树
14 };
15 void Flowshop::Backtrack(int i)
16 {
17     if(i>n)
18     {
19         for(int j=1;j<=n;j++)
20             bestx[j] = x[j];
21         bestf = f;
22     }
23     else
24     {
25         for(int j=i;j<=n;j++)　　//排列树中j从i开始————控制分支数
26         {
27             f1+=M[x[j]][i];　　//在第1台机器上的完成处理时间————着重关注M矩阵的行标（代表当前执行的作业，是动态变化的）
28             f2[i]=((f2[i-1]>f1)?f2[i-1]:f1)+M[x[j]][2];　　//在机器2上的完成处理时间，f2[0]初值赋为0
29             f+=f2[i];　　　　//总的完成时间和
30             if(f<bestf)　　//剪枝函数
31             {
32                 Swap(x[i],x[j]);
33                 Backtrack(i+1);
34                 Swap(x[i],x[j]);
35             }
36             f1 -= M[x[j]][1];　　//改变机器完成时间计数————递归返回时
37             f -= f2[i];
38         }
39     }
40 }
41 int Flow(int * * M,int n,int bestx[])
42 {
43     int ub = INT_AMX;
44     Flowshop X;
45     X.x = new int [n+1];
46     X.f2 = new int [n+1];
47     X.M = M;
48     X.n = n;
49     X.bestf = ub;
50     X.bestx = bestx;
51     X.f1 = 0;
52     X.f = 0;
53     for(int i=0;i<=n;i++)
54     {
55         X.f2[i] = 0;
56         X.x[i] i;
57     }
58     X.Backtrack(1);
59     delete [] X x;
60     delete [] X f2;
61     return X.bestf;
62 }

具体实现 示例代码：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 #define MAX 200
 4 int* x1;//作业Ji在机器1上的工作时间；
 5 int* x2;//作业Ji在机器2上的工作时间；
 6 
 7 int number=0;//作业的数目；
 8 
 9 int* xOrder;//作业顺序；
10 int* bestOrder;//最优的作业顺序；
11 
12 int bestValue=http://www.mamicode.com/MAX;//最优的时间；
13 int xValue=http://www.mamicode.com/0;//当前完成用的时间；
14 int f1=0;//机器1完成的处理时间；
15 int* f2;//第i阶段机器2完成的时间；
16 
17 
18 void BackTrace(int k)
19 {
20      if (k>number)
21      {
22           for (int i=1;i<=number;i++)
23           {
24              bestOrder[i]=xOrder[i];
25           }
26           bestValue=http://www.mamicode.com/xValue;
27      }
28  else
29  {
30       for (int i=k;i<=number;i++)
31       {
32            f1+=x1[xOrder[i]];
33            f2[k]=(f2[k-1]>f1?f2[k-1]:f1)+x2[xOrder[i]];
34            xValue+=f2[k];
35            swap(xOrder[i],xOrder[k]);
36            if (xValue<bestValue)
37            {
38                 BackTrace(k+1);
39            }
40            swap(xOrder[i],xOrder[k]);
41            xValue-=f2[k];
42            f1-=x1[xOrder[i]];
43       }
44   
45  }
46 }
47 int main()
48 {
49      cout<<"请输入作业数目：";
50      cin>>number;
51      x1=new int[number+1];
52      x2=new int[number+1];
53      xOrder=new int[number+1];
54      bestOrder=new int[number+1];
55      f2=new int[number+1];
56 
57      x1[0]=0;
58      x2[0]=0;
59      xOrder[0]=0;
60      bestOrder[0]=0;
61      f2[0]=0;
62 
63      cout<<"请输入每个作业在机器1上所用的时间："<<endl;
64      for (int i=1;i<=number;i++)
65      {
66       cout<<"第"<<i<<"个作业=";
67       cin>>x1[i];
68      }
69 
70      cout<<"请输入每个作业在机器2上所用的时间："<<endl;
71      for (i=1;i<=number;i++)
72      {
73       cout<<"第"<<i<<"个作业=";
74       cin>>x2[i];
75      }
76 
77      for (i=1;i<=number;i++)
78      {
79         xOrder[i]=i;
80      }
81      BackTrace(1);
82      cout<<"最节省的时间为："<<bestValue;
83      cout<<endl;
84      cout<<"对应的方案为：";
85      for (i=1;i<=number;i++)
86      {
87          cout<<bestOrder[i]<<"  ";
88      }
89      return 0;
90 }

 


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