我们先复习下什么是函数：函数是发生在集合之间的一种对应关系（我喜欢用图理解）

图中表示的是函数中的单射、满射和双射。简而言之就是集合的对应关系，而集合中的值一般满足一对一和多对一的关系，不能存在一对多的关系。

基于上述对函数的理解，我们给出函数依赖的定义：

设R（U）是属性集U上的关系模式，X,Y是U的子集，若对R（U）的任意一个可能的关系r，r中不可能存在两个元祖在X上的属性值相等，而在Y中的属性值不等，则记为X→Y。简而言之，函数依赖是某个属性集决定另一个属性集时，称另一属性集依赖于该属性集。（事实上就是不能出现一对多的关系）

我们先区分函数依赖与属性集中属性的三种关系

设R(U)是属性集U上的关系模式，X、Y是U的子集：

● 如果X和Y之间是1：1关系（一对一关系），如学校和校长之间就是1:1关系，则存在函数依赖X → Y和Y →X。

● 如果X和Y之间是1：n关系（一对多关系），如年龄和姓名之间就是1:n关系，则存在函数依赖Y → X。

●如果X和Y之间是m：n关系（多对多关系），如学生和课程之间就是m:n关系，则X和

用数学上的映射关系来理解，比如f（x）=2x；f（x，y）=x^+2y；f（x，y，z）=x+y-z等等，函数中变量元对应U中的X，所有X中的确定值经过函数关系的运算后组成Y。

其次，函数依赖包括以下几种

1.平凡函数依赖

当关系中属性集合Y是属性集合X的子集时，存在函数依赖X→Y，即一组属性函数决定它的所有子集，这种函数依赖称为平凡函数依赖。

2.非平凡函数依赖

当关系中属性集合Y不是属性集合X的子集时，存在函数依赖X→Y，则称这种函数依赖为非平凡函数依赖。

3.完全函数依赖

设X,Y是关系R的两个属性集合，X’是X的真子集，存在X→Y，但对每一个X’都有X’!→Y，则称Y完全函数依赖于X。

4.部分函数依赖

设X,Y是关系R的两个属性集合，存在X→Y，若X’是X的真子集，存在X’→Y，则称Y部分函数依赖于X。

5.传递函数依赖

设X,Y,Z是关系R中互不相同的属性集合，存在X→Y(Y !→X),Y→Z，则称Z传递函数依赖于X。（如果Y→X，则X→Z成立了）

用一个例子来理解上述的定义（A—\ →B表示A 不函数依赖于 B）

表1——学生(学号, 姓名, 性别, 年龄, 学院) 

假设我们做表不允许重名

学号→ 性别， 学号 → 年龄, 学号→ 学院，学号←→ 姓名,，姓名→ 性别， 姓名→ 年龄，姓名→ 学院，但性别—\ →Sage

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表2——学生课程（学号，课程，成绩）

学号→课程，（学号，课程）→成绩

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表3——学院系（学号，系名，系主任）

学号 → 系名，系名 → 系主任

在上述例子中：

平凡函数依赖： （学号，课程）→学号，（学号，课程）→课程。

因为学号和课程都是（学号，课程）的子集。

非平凡函数依赖： （学号，课程）→成绩（数据库中讨论得比较多是非平凡函数依赖，而平凡意义不大）

因为成绩不是（学号，课程）的子集。

部分函数依赖：（学号，姓名）→ 性别 

因为（学号，姓名）→ 性别 且 学号 → 性别

完全函数依赖：（学号，课程号）→ 成绩 

因为（学号，课程号）→ 成绩，学号 —\→ 成绩，课程号 —\→ 成绩。

传递函数依赖： 学号 → 系主任 

因为学号 → 系名，系名 → 系主任 且 系名 —\→ 学号。

而多值依赖呢？给出定义

多值依赖的定义：
      设R(U)是一个属性集合U上的一个关系模式，X, Y, 和Z是U的子集，并且Z=U-X-Y，多值依赖X->->Y成立当且仅当对R的任一个关系r，r在(X,Z)上的每个值对应一组Y的值，这组值仅仅决定于X值而与Z值无关。
      若X->->Y，而Z=空集，则称X->->Y为平凡的多值依赖。否则，称X->->Y为非平凡的多值依赖。

依然用函数的映射关系来理解，引入f（x，y），假设f（x，y）=+-（x^），若z=f（x，y），则一个x值可以得出两个互为相反数的z。在这个二元函数关系中，y的取值事实上是不影响结果的。类比到关系模式上，即x为X集的属性值，y为Y集的属性值，z为Z集的属性值。

看看一个例子

（课程C） ——（教师T）—（参考书B）

 数据库概率 —顾国生老师——数学分析
 数据库概率 —顾国生老师——高等代数
 数据库概率 —顾国生老师——微分方程

上述例子U{C,T,B},其中课程C和教师T唯一确定一组B，却与T无关，经由C决定，然而T并不是空集，所以是非平凡的多值依赖。

事实上，当T为空的时候，如果C中的每一个值c对应B中的一个确定的值，则变为函数依赖，所以函数依赖是多值依赖的一种特殊情况。

总计下：

1. 函数依赖不是指关系模式R的某个或某些关系实例满足的约束条件，而是指R的所有关系实例均要满足的约束条件。

2. 函数依赖是语义范畴的概念。只能根据数据的语义来确定函数依赖。（例如“姓名→年龄”这个函数依赖只有在不允许有同名人的条件下成立）

3. 函数依赖通常以集合抽闲出来讨论。

4. 数据库设计者根据需求对函数关系进行制定。例如认为“姓名→年龄”在特定表中可行。

5. 数据库设计者根据现实规定做强制要求。例如规定不允许同名人出现，函数依赖“姓名→年龄”成立。所插入的元组必须满足规定

的函数依赖，若发现有同名人存在， 则拒绝装入该元组。

边学边思考——数据库中函数依赖与多值依赖的辨析