设想你抛一枚硬币n次，你期望看到的连续正面的最长序列是多长？

这是算法导论第四章里的一个问题，今天看了好久，才明白过来，在这里做个记录。

书上从两个不同的角度分析了这个问题，一个是从概率的角度，通过计算这个序列长度的上界和下界推导出序列长度，一个是利用书上所说的指示随机变量(indicator random variable)的角度(个人理解就是期望)，去分析。前者太复杂了，看了一半就晕了，这里只分析一下第二种的方法。

定义Xik表示序列长度至少为k的序列开始于第i次抛硬币的概率。

那么，这个长度至少为k的序列出现次数的期望就是：E[X1k+X2k+...+X(n-k+1)k]

这里的n-k+1是总长为n的序列中，长度为k的序列的个数。

这里，Xik很好算，就是1/2^k。

所以，这个期望算出来就是(n-k+1)/(2^k)。

因此，我们就可以通过代入不同的k值，计算出长度为k的序列的期望数目。

当k=c lg n时，计算出来期望可以写成O(1/n^(c-1))。

当c较大时，期望就会很小，那么它就不大可能发生；当c很小，比如c<1/2时，期望就会很大，这说明它很可能发生。因此可以得到结论这个连续正面的最长序列的期望就是O(lg n)

连续正面的最长序列问题