1、2、3、……，自然数就好像是大自然的母语，它独立于人的思维而存在，甚至很多动物都会简单的计数。考古学有足够的证据表明，远远早于人类文明之前，人们就开始有意识的计数了。到了古希腊时期，以各种政治宗教团体为代表，人们对知识的认知达到了空前的程度，其中影响最大的当属“毕达哥拉斯学派”。毕达哥拉斯曾求学于古希腊圣贤，并游历了周边世界，回国后创办了学派。关于“毕达哥拉斯学派”的故事数不胜数，网络和史书上都有精彩的描述，这里就不多说了。值得一提的是该学派的信条“万物皆数”，这里的数就是指自然数，当然还包括表现为自然数之比的有理数。

Pythagoras（前580 - 前500）

　　古希腊人对有理数的研究十分深入，在丢潘图时代达到了至高点，但之后便随着时代一起没落了。其实在早前，希帕索斯就已经发现\(\sqrt{2}\)并不是有理数，这一发现使得毕达哥拉斯学派极其恐慌，他们将希帕索斯和真理一起埋藏到了大海之中。但毕竟纸里包不住火，质疑声越来越的强烈，人们对自己的信仰甚至产生了怀疑，史称“第一次数学危机”。最终人们不得不承认这种数的存在，并且称其为“不可公约数”，然后用两条线段之比来表示它，欧几里得的《几何原理》是这套理论的典型代表。然而顽固的反对者却一直存在，即使是伟大的达芬奇也称它为“无理数”。

　　相信很多人有这样的记忆，在小学和初中时，0并不是自然数，但到了高中却突然变成自然数了。这个问题曾经一度引起争论，它也正体现了人们对0的认识过程。0很早地就被中国、印度这样的东方国家随意使用着，但直到中世纪阿拉伯数字的普及，欧洲世界才逐渐地接受了它。直观地讲，0的现实意义并不是很“自然”，因为“没有”是不需要计数的，再加上0不能做除数，人们将它排除在自然数之外也情有可原。在近代的集合论和公理系统中，将0作为万物起始，将1作为度量单位，更符合现代人的认识，理论系统在这里取代了直觉。听说现在小学教材也将0纳入了自然数，看来这个争议已经有了定论。

　　大家可能已经不记得，我们在初中是先学的负数，然后再学的无理数（根号）。相对无理数而言，负数只是在减法上的扩展，接受起来没有障碍。但在历史上，负数的出现却远远晚于无理数，而且也同样不受人待见。直到17世纪末还存在着争议，连帕斯卡、莱布尼兹这样的大数学家都公开反对负数，认为它们根本不存在。由于先入为主的观念，有人可能无法理解，负数为什么难以接受？但只要想想你能否接受虚数，这也就变得不那么难理解了，因为它们同样都是“不存在”的数。

　　经历了多次新数诞生的阵痛，人们已经认识到，数并非一定要是“存在”的，它们是运算完备性需求的必然产物。但数也不能盲目扩张，它们必须产生于运算的扩展，也必须受制于运算律的约束。随着公理化系统和代数学的发展，人们有了足够的工具和信心去解构数的本质，并随之创造出了包括“四元数”和“无穷小”在内的新型数。为了不把战线拉得太长，这里只介绍到实数系统，其它更高级的扩展留到相应课程再说。

　　实数系统是分析学的基础，也是大家接触最多的数系。将这部分内容作为专题，有利于树立科学的数学观，为接下来的专业课程做个健康操。实数的构造和极限理论可以让你以更正确的姿势进入分析学的学习，最后的连分数理论是个很精巧的工具，不仅应用于初等数论，它还是打开实数秘密宝藏的金钥匙。

【前序学科】集合论

【参考资料】

[1] 《实数的构造理论》，王建午，1979

　　以专业、深入的方式讲解了实数的构造，对实数的完备性有较全面的介绍，可作为数学分析的准备课程。

[2] 《数系：从自然数到复数》，董延闿，1988

　　从皮亚诺公理出发，定义了自然数、整数……直至复数。对数的运算律有详尽的证明，可作为参考书。

[3] 《The Irrationals: A Story of the Numbers You Can‘t Count on》，Julian Havil，2012

　　细数了数系建立和研究的历程，对很多高级问题都有启发性介绍。题材丰富，内容深入，适合进阶学习参考。

[4] 《研究之美》（Surreal Numbers），D.E. Knuth，2006

　　以研究的方式介绍了超实数的概念，更主要的是让读者体会研究的方法和乐趣。短小的故事，却融入了研究的方方面面，对培养良好的研究素质有极好的启发性。

[5] 《连分数》，辛钦，1965

　　大师手笔，从基础概念到高级内容皆有介绍，适合进阶阅读。作者文字简练、证明严谨、思路清晰，将个人见解融入课程，读来很受启发。

[6] 《连分数》，奥尔德斯，1985

　　主体内容较初等，证明略显冗长，适合入门学习。文中有不少历史背景和应用场景，文末有高级内容引论，可做进一步学习的参考。

[7] 文中的极限理论来自各种微积分教材，部分连分数理论来自各种初等数论教材，这些教材的书单将在相应课程中给出。

【实数系统】 01 - 万物皆数