谈论某赋范空间是否完备，应该指明那种范数，同一空间装备不同的范数完备性可能不同，某范数下该空间是否完备似乎可以当做一个评判范数是否优的标准（当然不完备的范数 可使空间完备化）。

所谓的完备是指空间中的 Cauchy 列收敛（收敛于该空间 否则称不收敛），此处的收敛是按定义的范数收敛的。

设$E$是赋范空间 $\{f_{n}\}$是 $E$中Cauchy列指的是：$\forall \varepsilon>0$,$\exists N$当$n,m>N$时

$$||f_{n}-f_{m}||< \varepsilon$$

给某空间装备某种范数之后，基本列情况无外乎下面几种：

Case 1  所有基本列收敛  （对应Banach空间）

Case 2  部分基本列收敛，部分基本列不收敛（不使用发散名词）。

Case 3  所有基本列不收敛。（去掉平凡基本列）

事实上，Case 3是不可能的，例如取$f_{n}=f \in E$总是收敛的 称这样的基本列为平凡基本列。

例： 闭区间上的连续函数空间 $C[0,1]$

a) 装备范数：

$$||f||=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)| $$

$C[0,1]$按极大值范数下是 Banach空间，对应 Case 1.

证明：略。只需注意到  一般距离下，连续函数列$\{f_{n}(x)\}$一致收敛于$f(x)$。

b)装备范数：

$$||f||=\int_{0}^{1}|f(x)|dx$$

则$C[0,1]$在该范数下不是完备的。

取Cauchy列

 \[ f_{n}(x)=\begin{cases} nx &{[0,1/n]}\\1 &{[1/n,1]}\end{cases} \]

则可以证明

$f_{n} \to 1$

此$Cauchy$列收敛

改造零点处附近，取Cauchy列

 \[ f_{n}(x)=\begin{cases} 0 &{[0,1/2-1/n]}\\nx-n/2+1 &{[1/2-1/n,1/2]}\\1&{[1/2,1]}\end{cases} \]

此Cauchy列不收敛。

问题：

(1) 对于赋范空间考察所有基本列构成的集组具有怎样的性质？

(2) 构造一种范数使得所有非平凡基本列不收敛。

读书笔记（2）