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哈夫曼树与哈夫曼编码
在一般的数据结构的书中，树的那章后面，著者一般都会介绍一下哈夫曼(HUFFMAN)
树和哈夫曼编码。哈夫曼编码是哈夫曼树的一个应用。哈夫曼编码应用广泛，如
JPEG中就应用了哈夫曼编码。 首先介绍什么是哈夫曼树。哈夫曼树又称最优二叉树，
是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点
的权值乘上其到根结点的 路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度
为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)
，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径
长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。
哈夫曼编码步骤：
一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算 法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。）
二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。
三、从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。
四、重复二和三两步，直到集合F中只有一棵二叉树为止。
简易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率（即权值）分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3，如图：
虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树，如图：
再依次建立哈夫曼树，如下图：
其中各个权值替换对应的字符即为下图：
所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010
霍夫曼编码是一种无前缀编码。解码时不会混淆。其主要应用在数据压缩，加密解密等场合。
C语言代码实现：
1 /*------------------------------------------------------------------------- 2 * Name: 哈夫曼编码源代码。 3 * Date: 2011.04.16 4 * Author: Jeffrey Hill+Jezze(解码部分) 5 * 在 Win-TC 下测试通过 6 * 实现过程：着先通过 HuffmanTree() 函数构造哈夫曼树，然后在主函数 main()中 7 * 自底向上开始(也就是从数组序号为零的结点开始)向上层层判断，若在 8 * 父结点左侧，则置码为 0,若在右侧,则置码为 1。最后输出生成的编码。 9 *------------------------------------------------------------------------*/ 10 #include <stdio.h> 11 #include<stdlib.h> 12 13 #define MAXBIT 100 14 #define MAXVALUE 10000 15 #define MAXLEAF 30 16 #define MAXNODE MAXLEAF*2 -1 17 18 typedef struct 19 { 20 int bit[MAXBIT]; 21 int start; 22 } HCodeType; /* 编码结构体 */ 23 typedef struct 24 { 25 int weight; 26 int parent; 27 int lchild; 28 int rchild; 29 int value; 30 } HNodeType; /* 结点结构体 */ 31 32 /* 构造一颗哈夫曼树 */ 33 void HuffmanTree (HNodeType HuffNode[MAXNODE], int n) 34 { 35 /* i、j： 循环变量，m1、m2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点的权值， 36 x1、x2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点在数组中的序号。*/ 37 int i, j, m1, m2, x1, x2; 38 /* 初始化存放哈夫曼树数组 HuffNode[] 中的结点 */ 39 for (i=0; i<2*n-1; i++) 40 { 41 HuffNode[i].weight = 0;//权值 42 HuffNode[i].parent =-1; 43 HuffNode[i].lchild =-1; 44 HuffNode[i].rchild =-1; 45 HuffNode[i].value=http://www.mamicode.com/i; //实际值，可根据情况替换为字母 46 } /* end for */ 47 48 /* 输入 n 个叶子结点的权值 */ 49 for (i=0; i<n; i++) 50 { 51 printf ("Please input weight of leaf node %d: \n", i); 52 scanf ("%d", &HuffNode[i].weight); 53 } /* end for */ 54 55 /* 循环构造 Huffman 树 */ 56 for (i=0; i<n-1; i++) 57 { 58 m1=m2=MAXVALUE; /* m1、m2中存放两个无父结点且结点权值最小的两个结点 */ 59 x1=x2=0; 60 /* 找出所有结点中权值最小、无父结点的两个结点，并合并之为一颗二叉树 */ 61 for (j=0; j<n+i; j++) 62 { 63 if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1) 64 { 65 m2=m1; 66 x2=x1; 67 m1=HuffNode[j].weight; 68 x1=j; 69 } 70 else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1) 71 { 72 m2=HuffNode[j].weight; 73 x2=j; 74 } 75 } /* end for */ 76 /* 设置找到的两个子结点 x1、x2 的父结点信息 */ 77 HuffNode[x1].parent = n+i; 78 HuffNode[x2].parent = n+i; 79 HuffNode[n+i].weight = HuffNode[x1].weight + HuffNode[x2].weight; 80 HuffNode[n+i].lchild = x1; 81 HuffNode[n+i].rchild = x2; 82 83 printf ("x1.weight and x2.weight in round %d: %d, %d\n", i+1, HuffNode[x1].weight, HuffNode[x2].weight); /* 用于测试 */ 84 printf ("\n"); 85 } /* end for */ 86 /* for(i=0;i<n+2;i++) 87 { 88 printf(" Parents:%d,lchild:%d,rchild:%d,value:%d,weight:%d\n",HuffNode[i].parent,HuffNode[i].lchild,HuffNode[i].rchild,HuffNode[i].value,HuffNode[i].weight); 89 }*///测试 90 } /* end HuffmanTree */ 91 92 //解码 93 void decodeing(char string[],HNodeType Buf[],int Num) 94 { 95 int i,tmp=0,code[1024]; 96 int m=2*Num-1; 97 char *nump; 98 char num[1024]; 99 for(i=0;i<strlen(string);i++)100 {101 if(string[i]==‘0‘)102 num[i]=0; 103 else104 num[i]=1; 105 } 106 i=0;107 nump=&num[0];108 109 while(nump<(&num[strlen(string)]))110 {tmp=m-1;111 while((Buf[tmp].lchild!=-1)&&(Buf[tmp].rchild!=-1))112 {113 114 if(*nump==0)115 {116 tmp=Buf[tmp].lchild ; 117 } 118 else tmp=Buf[tmp].rchild;119 nump++;120 121 } 122 123 printf("%d",Buf[tmp].value); 124 }125 126 127 }128 129 130 int main(void)131 {132 133 HNodeType HuffNode[MAXNODE]; /* 定义一个结点结构体数组 */134 HCodeType HuffCode[MAXLEAF], cd; /* 定义一个编码结构体数组， 同时定义一个临时变量来存放求解编码时的信息 */135 int i, j, c, p, n;136 char pp[100];137 printf ("Please input n:\n");138 scanf ("%d", &n);139 HuffmanTree (HuffNode, n);140 141 142 for (i=0; i < n; i++)143 {144 cd.start = n-1;145 c = i;146 p = HuffNode[c].parent;147 while (p != -1) /* 父结点存在 */148 {149 if (HuffNode[p].lchild == c)150 cd.bit[cd.start] = 0;151 else152 cd.bit[cd.start] = 1;153 cd.start--; /* 求编码的低一位 */154 c=p; 155 p=HuffNode[c].parent; /* 设置下一循环条件 */156 } /* end while */157 158 /* 保存求出的每个叶结点的哈夫曼编码和编码的起始位 */159 for (j=cd.start+1; j<n; j++)160 { HuffCode[i].bit[j] = cd.bit[j];}161 HuffCode[i].start = cd.start;162 } /* end for */163 164 /* 输出已保存好的所有存在编码的哈夫曼编码 */165 for (i=0; i<n; i++)166 {167 printf ("%d ‘s Huffman code is: ", i);168 for (j=HuffCode[i].start+1; j < n; j++)169 {170 printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);171 }172 printf(" start:%d",HuffCode[i].start);173 174 printf ("\n");175 176 }177 /* for(i=0;i<n;i++){178 for(j=0;j<n;j++)179 {180 printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]); 181 }182 printf("\n");183 }*/184 printf("Decoding?Please Enter code:\n");185 scanf("%s",&pp);186 decodeing(pp,HuffNode,n);187 getch();188 return 0;189 }
转载自 http://www.cnblogs.com/Jezze/archive/2011/12/23/2299884.html
哈夫曼树与哈夫曼编码
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