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数学常数e的含义

e是一个重要的常数,但是它的直观含义却不像π那么明了。我们都知道,圆的周长与直径之比是一个常数,这个常数被称为圆周率,记作π=3.14159…,可是如果我问你,e代表了什么,你能回答吗?

不妨先来看看 维基百科 是怎么说的:

“e是自然对数的底数。”

但是,你去看“ 自然对数 ”这个条目,得到的解释却是:

“自然对数是以e为底的对数函数,e是一个无理数,约等于2.718281828。”

这构成了循环定义,完全没有说e是什么。在这种情况下,数学家选择这样一个无理数作为底数,还号称这种对数很"自然",这难道不是一件很奇怪的事情吗?

e是增长极限

到底什么是e?简单说来,e就是 增长的极限 。

下面这个例子就是对e直观含义的极好诠释:

某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情况下,那么很显然,这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式:

growth= 2 x x表示天数

这个式子可以改写成如下的样子:

growth= (1+100%) x 其中,1表示原有数量,100%表示单位时间内(24小时)的增长率。

 

根据细胞生物学,每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,平均会新产生一半原数量的新细胞,新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。

因此一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长50%:

/gkimage/uw/dx/dz/uwdxdz.png

即在一个单位时间内,这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。

倘若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞,新生细胞立即具备独立分裂的能力,那就可以将1天分成3个阶段,在一天内时间细胞的总数会增至为:

/gkimage/cu/hb/iq/cuhbiq.png

即最后细胞数扩大为2.37倍。

实际上,这种分裂现象是不间断、连续的,每分每秒产生的新细胞,都会立即和母体一样继续分裂,一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢?答案是:

/gkimage/k1/lj/i3/k1lji3.png

当增长率为100%保持不变时,在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。 数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值 。

这个值是自然增长的极限,是“自然律”的精髓所在,因此以e为底的对数,就叫做自然对数。

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你不会自成“大款”——到e为止

有了这个值以后,计算银行的复利就非常容易。

假定有一家银行,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿多少钱?

答案是:

/gkimage/sl/5a/eo/sl5aeo.png

但是事实上,存储利息没有这么高,如果复利率只有5%,那么100元存一年可以拿到多少钱呢:

/gkimage/is/4d/cr/is4dcr.png

我们知道,在100%利息率的情况下,n=1000时,下式的值非常接近e:

/gkimage/sf/wm/oq/sfwmoq.png

为了便于思考,取n等于50:

/gkimage/71/vg/cc/71vgcc.png

当利息率是5%时,存款增长率就相当于e的20分之一次方:

/gkimage/qs/ke/ku/qskeku.png

1/20正好等于5%,所以我们可以把上式改写成:

/gkimage/g7/r2/tt/g7r2tt.png

rate表示利率。

再考虑时间因素,如果存款年限t年,那么存款最终增长率为:

/gkimage/cs/5o/6m/cs5o6m.png

这说明e可以用于任何连续不断的复合式增长率的计算,而上式也是这个增长率的通用计算公式。

带着这个结论再回到上面的例子。如果银行的利息率是5%的复利,求解100元存款翻倍需要多少时间就等价于解下面的方程:

/gkimage/o5/1p/qp/o51pqp.png

计算结果得13.86年:

/gkimage/wt/d6/r8/wtd6r8.png

可以看到:用72除以增长率就是翻倍的大致时间。这正是经济学上著名的72法则。

 
编者按:e是“指数”(exponential)的首字母,也是欧拉名字的首字母。和圆周率π及虚数单位i一样,e是最重要的数学常数之一。第一次把e看成常数的是雅各布?伯努利,他开始尝试计算lim(1+1/n) n 的值,1727年欧拉首次用小写字母“e”表示这常数,此后遂成标准。

本文来源: 阮一峰的网络日志

原文出处: http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/