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拓扑排序之变量序列算法分析

拓扑排序之变量序列

巧若拙(欢迎转载,但请注明出处:http://blog.csdn.net/qiaoruozhuo)

 

题目描述:

假设有n个变量(1<=n<=26,变量名用单个小写字母表示),还有m个二元组(u,v),分别表示变量u小于v。那么,所有变量从小到大排列起来应该是什么样子的呢?

       例如有4个变量a,b,c,d,若以知a<b,c<b,d<c,则这4个变量的排序可能是a<d<c<b。尽管还有可能其他的可能,你只需找出其中的一个即可。

输入:

输入为一个字符串,其中包含N+N个字符,依次表示N个关系式(1<=N<=100000),例如序列"abcbdc"表示a<b,c<b,d<c.

输出:

给出一个字符串,其中存储了一个符合要求的变量序列,例如,字符串"adcb"表示a<d<c<b。

      

算法分析:

       这是典型的拓扑排序问题。先简单科普一下,所谓拓扑排序,是指将一个有向无环图G中所有顶点排成一个线性序列,使得图中任意一对顶点u和v,若<u,v> ∈E(G),则u在线性序列中出现在v之前。通常,这样的线性序列称为满足拓扑次序(TopoiSicaiOrder)的序列,简称拓扑序列。

       我们先将变量作为顶点输入到图数据结构中。表示图的数据结构有多种,由于本题对应的是稀疏图,应该以边为主要研究对象,所以可以把数据结构设置为邻接表或边表集。

       我们先来看邻接表数据结构:

typedef char VertexType; //顶点类型由用户自定义

typedef int EdgeType; //边上的权值类型由用户自定义

 

typedef struct EdgeNode{ //边表结点

       intadjvex;  //邻接点域,存储该顶点对应的下标

//     EdgeTypeweight; //权值,对于非网图可以不需要

       structEdgeNode *next; //链域,指向下一个邻接点

} EdgeNode;

 

typedef struct VertexNode{ //顶点表结点

       VertexTypedata; //顶点域,存储顶点信息

       intin;   //存储顶点入度的数量

       EdgeNode*firstEdge; //边表头指针

} VertexNode;

 

由于变量名用单个小写字母表示,我们可以设置一个大小为26的数组存储顶点;又由于26个字母不见得都会出现,故我们设置一个全局变量int book[MAXM]= {0}; 用来标记某字母是否出现。

首先创建一个图,读入顶点和边信息。代码如下:

/*

函数名称:CreateGraph

函数功能:把顶点和边信息读入到表示图的邻接表中

输入变量:char *data:存储了N个关系式的字符串

          VertexNode *GL : 顶点表数组

输出变量:表示图的顶点表数组

返回值:int :顶点数量

*/

intCreateGraph(char *data, VertexNode *GL)

{

       int i, u, v;

       int count = 0;//记录顶点数量

       EdgeNode *e;

      

       for (i=0; i<MAXM; i++)//初始化图

       {

              GL[i].data = http://www.mamicode.com/i + ‘a‘;

              GL[i].in = 0;

              GL[i].firstEdge = NULL;

              book[i] = 0;

       }

      

       for (i=0; data[i]!=‘\0‘; i+=2)//每次读取两个变量 

       {

              u = data[i] - ‘a‘; //字母转换为数字,‘a‘对应0,‘b‘对应1,以此类推

              v = data[i+1] - ‘a‘;

              book[u] = book[v] = 1;

             

              e =(EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode)); //采用头插法插入边表结点

              if (!e)

              {

                     puts("Error");

                     exit(1);

              }

              e->adjvex = v;

              e->next = GL[u].firstEdge;

              GL[u].firstEdge = e;

             

              GL[v].in++;

       }

      

       for (i=0; i<MAXM; i++)//计算顶点数量

       {

              if (book[i] != 0)

                     count++;

       }

      

       return count;

}

 

拓扑排序算法其实非常简单,只需要搜索入度为0的弧尾顶点,然后将其对应的弧头顶点入度减1,如果该弧头顶点入度也变成了0,就将其存储到栈(或队列)中。搜索的方法有深度优先和广度优先两种。代码分别如下:

/*

函数名称:TopoLogicalSort_DFS

函数功能:拓扑排序,采用深度优先搜索获取拓扑序列

输入变量:char *topo:用来存储拓扑序列的字符串

         VertexNode *GL : 顶点表数组

         int n:顶点个数

输出变量:用来存储拓扑序列的字符串

返回值:int :拓扑排序成功返回真,若存在环则返回假

*/

int TopoLogicalSort_DFS(char *topo,VertexNode *GL, int n)

{

       inti, u, v, top;

       intcount = 0; //用于统计输出顶点的个数

       EdgeNode*e;

       intStack[MAXM];

      

       for(top=i=0; i<MAXM; i++)//将入度为0的顶点入栈

       {

              if(book[i] != 0 && GL[i].in == 0)

              {

                     Stack[top++]= i;

              }

       }

      

       while(top > 0)//采用深度优先搜索获取拓扑序列

       {

              u= Stack[--top];

              topo[count++]= u + ‘a‘;

             

              for(e=GL[u].firstEdge; e!=NULL; e=e->next)//将u的邻接点入度减1,并将入度为0的顶点入栈

              {

                     v= e->adjvex;

                     if(--GL[v].in == 0)

                            Stack[top++]= v;

              }

       }

       topo[count]= ‘\0‘;

      

       return(count == n);//如果count小于顶点数,说明存在环

}

 

/*

函数名称:TopoLogicalSort_BFS

函数功能:拓扑排序,采用广度优先搜索获取拓扑序列

输入变量:char*topo:用来存储拓扑序列的字符串

         VertexNode *GL : 顶点表数组

         int n:顶点个数

输出变量:用来存储拓扑序列的字符串

返回值:int :拓扑排序成功返回真,若存在环则返回假

*/

int TopoLogicalSort_BFS(char *topo,VertexNode *GL, int n)

{

       inti, u, v, front, rear;

       EdgeNode*e;

      

       front= rear = 0;

       for(i=0; i<MAXM; i++)//将入度为0的顶点入栈

       {

              if(book[i] != 0 && GL[i].in == 0)

              {

                     topo[rear++]= i + ‘a‘;

              }

       }

      

       while(front < rear)//采用广度优先搜索获取拓扑序列

       {

              u= topo[front++] - ‘a‘;

             

              for(e=GL[u].firstEdge; e!=NULL; e=e->next)//将u的邻接点入度减1,并将入度为0的顶点入栈

              {

                     v= e->adjvex;

                     if(--GL[v].in == 0)

                            topo[rear++]= v + ‘a‘;

              }

       }

       topo[rear]= ‘\0‘;

      

       return(rear == n);//如果count小于顶点数,说明存在环

}

 

我们也可以用边表集来表示图,数据结构如下:

typedef struct Edge{ //边集数组

       intu, v; //弧尾和弧头

       intnext; //指向同一个弧尾的下一条边

//     EdgeTypeweight; //权值,对于非网图可以不需要

} EdgeLib;

 

为了表示顶点信息,我们还需要设置两个数组:int In[MAXM], first[MAXM]; //分别存储顶点的入度和第一条边信息。

边表集实现拓扑排序的算法和邻接表非常相似,也是先读入图的顶点和边信息,然后进行拓扑排序。代码如下:

/*

函数名称:CreateGraph_2

函数功能:把顶点和边信息读入到表示图的边表集中

输入变量:char*data:存储了N个关系式的字符串

         int In[]:存储了顶点的入度信息

         int first[]:指向以该顶点为弧尾的第一条边

         EdgeLib edge[]:存储了边信息的边表集

输出变量:表示图的边表集数组

返回值:int :顶点数量

*/

int CreateGraph_2(char *data, int In[], intfirst[], EdgeLib edge[])//创建一个图

{

       inti, j;

       intcount = 0;//记录顶点数量

      

       for(i=0; i<MAXM; i++)//初始化图

       {

              first[i]= -1;

              book[i]= 0;

              In[i]= 0;

       }

      

       for(j=i=0; data[i]!=‘\0‘; i+=2,j++)//每次读取两个变量 

       {

              edge[j].u= data[i] - ‘a‘; //字母转换为数字,‘a‘对应0,‘b‘对应1,以此类推

              edge[j].v= data[i+1] - ‘a‘;

              book[edge[j].u]= book[edge[j].v] = 1;

             

              edge[j].next= first[edge[j].u];

              first[edge[j].u]= j;

              In[edge[j].v]++;

       }

      

       for(i=0; i<MAXM; i++)//计算顶点数量

       {

              if(book[i] != 0)

                     count++;

       }

      

       returncount;

}

 

/*

函数名称:TopoLogicalSort

函数功能:拓扑排序,采用广度优先搜索获取拓扑序列

输入变量:char*topo:用来存储拓扑序列的字符串

         EdgeLib edge[]:存储了边信息的边表集

         int In[]:存储了顶点的入度信息

         int first[]:指向以该顶点为弧尾的第一条边

         int n:顶点个数

输出变量:用来存储拓扑序列的字符串

返回值:int :拓扑排序成功返回真,若存在环则返回假

*/

int TopoLogicalSort(char *topo, EdgeLibedge[], int In[], int first[], int n)

{

       inti, u, front, rear;

      

       front= rear = 0;

       for(i=0; i<MAXM; i++)//将入度为0的顶点入栈

       {

              if(book[i] != 0 && In[i] == 0)

              {

                     topo[rear++]= i + ‘a‘;

              }

       }

      

       while(front < rear)//采用广度优先搜索获取拓扑序列

       {

              u= topo[front++] - ‘a‘;

              for(i=first[u]; i!=-1; i=edge[i].next)

              {

                     if(--In[edge[i].v] == 0)

                            topo[rear++]= edge[i].v + ‘a‘;

              }

       }

       topo[rear]= ‘\0‘;

      

       return(rear == n);//如果count小于顶点数,说明存在环

}

 

这里只给出了相关函数,完整的测试代码请到巧若拙的博客(http://blog.csdn.net/qiaoruozhuo)查看。

拓扑排序之变量序列算法分析