（1）  选择某些初始值。可选不同的参数指标，也可在迭代过程中人为修改，以将N个模式样本按指标分配到各个聚类中心中去。

（2）  计算各类中诸样本的距离指标函数。

（3）~（5）按给定的要求，将前一次获得的聚类集进行分裂和合并处理（（4）为分裂处理，（5）为合并处理），从而获得新的聚类中心。

（6）  重新进行迭代运算，计算各项指标，判断聚类结果是否符合要求。经过多次迭代后，若结果收敛，则运算结束。

3. ISODATA算法流程图：

4.ISODATA算法

第一步：输入$N$个模式样本$\{x_i, i = 1, 2, …, N\}$

           预选$N_c$个初始聚类中心$\{ z_1 ,z_2 , \ldots z_{N_c } \} $，它可以不等于所要求的聚类中心的数目，其初始位置可以从样本中任意选取。

           预选：$K$  = 预期的聚类中心数目；

                    $\theta_N$ = 每一聚类域中最少的样本数目，若少于此数即不作为一个独立的聚类；

                    $\theta_S$ = 一个聚类域中样本距离分布的标准差；

                    $\theta_c$= 两个聚类中心间的最小距离，若小于此数，两个聚类需进行合并；

                    $L$= 在一次迭代运算中可以合并的聚类中心的最多对数；

                    $ I$  = 迭代运算的次数。

第二步：将$N$个模式样本分给最近的聚类$S_j$，假若$D_j = \min \{ \left\| {x - z_i } \right\|,i = 1,2, \cdots N_c \} $

           ，即$||x-z_j||$的距离最小，则$x \in S_j $。

第三步：如果$S_j$中的样本数目S_j<θ_N，则取消该样本子集，此时N_c减去1。

           （以上各步对应基本步骤（1））

第四步：修正各聚类中心

\[
\begin{array}{*{20}c}
{z_j = \frac{1}{{N_j }}\sum\limits_{x \in S_j } x ,} & {j = 1,2, \cdots ,N_c } \\
\end{array}
\]

第五步：计算各聚类域S_j中模式样本与各聚类中心间的平均距离

\[
\begin{array}{*{20}c}
{\bar D_j = \frac{1}{{N_j }}\sum\limits_{x \in S_j } {\left\| {x - z_j } \right\|} ,} & {j = 1,2, \cdots ,N_c } \\
\end{array}
\]

第六步：计算全部模式样本和其对应聚类中心的总平均距离

\[
\bar D = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^N {N_j \bar D_j } 
\]

（以上各步对应基本步骤（2））

第七步：判别分裂、合并及迭代运算

1. 若迭代运算次数已达到I次，即最后一次迭代，则置θ_c =0，转至第十一步。
2. 若$N_c \le \frac{K}{2}$
   ，即聚类中心的数目小于或等于规定值的一半，则转至第八步，对已有聚类进行分裂处理。
3. 若迭代运算的次数是偶数次，或$N_c \ge 2K$
   ，不进行分裂处理，转至第十一步；否则（即既不是偶数次迭代，又不满足$N_c \ge 2K$），转至第八步，进行分裂处理。

（以上对应基本步骤（3））

第八步：计算每个聚类中样本距离的标准差向量

\[
\sigma _j = (\sigma _{1j} ,\sigma _{2j} , \ldots ,\sigma _{nj} )^T 
\]

          其中向量的各个分量为

\[
\sigma _{ij} = \sqrt {\frac{1}{{N_j }}\sum\limits_{k = 1}^{N_j } {(x_{ik} - z_{ij} )^2 } } 
\]

          式中，i = 1, 2, …, n为样本特征向量的维数，j = 1, 2, …, N_c为聚类数，N_j为S_j中的样本个数。

第九步：求每一标准差向量{σ_j, j = 1, 2, …, N_c}中的最大分量，以{σ_jmax, j = 1, 2, …, N_c}代表。

第十步：在任一最大分量集{σ_jmax, j = 1, 2, …, N_c}中，若有σ_jmax>θ_S ，同时又满足如下两个条件之一：

1. $\bar D_j > \bar D$和N_j > 2(θ_N + 1)，即S_j中样本总数超过规定值一倍以上，
2. $N_c \le \frac{K}{2}$

       则将z_j 分裂为两个新的聚类中心和，且N_c加1。 中对应于σ_jmax的分量加上kσ_jmax，其中；中对应于σ_jmax的分量减去kσ_jmax。

       如果本步骤完成了分裂运算，则转至第二步，否则继续。

      （以上对应基本步骤（4）进行分裂处理）

第十一步：计算全部聚类中心的距离

                  \[D_{ij} = || z_i - z_j ||，i = 1, 2, …, N_c-1 ，j =i+1, …, N_c\]

第十二步：比较D_ij 与θ_c 的值，将D_ij <θ_c 的值按最小距离次序递增排列，即

\[
\{ D_{i_1 j_1 } ,D_{i_2 j_2 } , \ldots ,D_{i_L j_L } \} 
\]

             式中$D_{i_1 j_1 } < D_{i_2 j_2 } < \ldots < D_{i_L j_L } $。

第十三步：将距离为$D_{i_kj_k}$的两个聚类中心$Z_{i_k}$和$Z_{j_k}$合并，得新的中心为：

              \[z_k^\ast= \frac{1}{{N_{i_k } + N_{j_k } }}[N_{i_k } z_{i_k } + N_{j_k } z_{j_k } ],k = 1,2, \cdots ,L\]

              式中，被合并的两个聚类中心向量分别以其聚类域内的样本数加权，使$Z_k^\ast$为真正的平均向量。

             （以上对应基本步骤（5）进行合并处理）

第十四步：如果是最后一次迭代运算（即第I次），则算法结束；否则，若需要操作者改变输入参数，转至第一步；若输入参数不变，转至第二步。

              在本步运算中，迭代运算的次数每次应加1。

 [算法结束]

5.例子：试用ISODATA算法对如下模式分布进行聚类分析：

\[\{x_1(0,0),x_2(3,8),x_3(2,2),x_4(1,1),x_5(5,3),x_6(4,8),x_7(6,3),x_8(5,4),x_9(6,4),x_{10}(7,5)\}\]

我们可以知道，N=10，n=2。假设取初始值$N_c=1$，z₁=x₁=(0 0)^T，则运算步骤如下：

（1）   设置控制参数

            取K=3，θ_N=1，θ_S=1，θ_c=4，L=1，I=4

（2）   按最小距离原则将模式集（xi）中每个模式分到某一类中。

          由于此时只有一个聚类中心，因此S₁={x₁, x₂, …, x₁₀}，N₁=10

（3）   因N₁>θ_N ，无子集可抛

（4）   修改聚类中心

\[
z_1 = \frac{1}{{N_1 }}\sum\limits_{x \in S_1 } {x = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{3.9} \\
{3.8} \\
\end{array}} \right)} 
\]

（5）   计算模式样本与聚类中心间的平均距离$\bar D_1 $

\[
{\bar D_1 = \frac{1}{{N_1 }}\sum\limits_{x \in S_1 } {\left\| {x - z_1 } \right\|} = 3.0749}
\]

（6）   计算全部模式样本和其对应聚类中心的总平均距离

\[
\bar D = \bar D_1 = 3.0749
\]

（7）   因不是最后一次迭代，且$N_c<K/2$，进入（8）

（8）   计算S₁中的标准差向量

\[
\sigma _1 = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{2.2113} \\
{2.5219} \\
\end{array}} \right)
\]

（9） $\sigma_{1\max}$  中的最大分量是2.5219，因此 $\sigma_{1\max}= 2.5219$。

（10）因$\sigma_{1\max}>\theta_s$ 且$N_c<\frac{K}{2}$，可将z₁分裂成两个新的聚          类。设$r_j = 0.5\sigma _{1\max } \approx 1.261$.则

\[
z_1^ + = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{3.9} \\
{5.061} \\
\end{array}} \right),z_1^ - = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{3.9} \\
{2.539} \\
\end{array}} \right)
\]

           为方便起见，将$z_1^+$和$z_1^-$表示为z₁和z₂，N_c加1 ，$N_c=2$.

（11）   重新进行分类

\[
{\rm{S}}1 = \{ {\rm{x2,x6,x8,x9,x10\} ,N}}_1 = 5
\]

\[
{\rm{S2 = \{ x1,x3,x4,x5,x7\} ,N}}_2 = 5
\]

（12）   因N₁>θ_N 且N₂>θ_N，无子集可抛。

（13）   修改聚类中心

\[
{z_1 = \frac{1}{{N_1 }}\sum\limits_{x \in S_1 } {x = \left( {\begin{array}{*{20}c}
5 \\
{5.8} \\
\end{array}} \right)} }
\]

\[
{z_2 = \frac{1}{{N_2 }}\sum\limits_{x \in S_2 } {x = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{2.8} \\
{1.8} \\
\end{array}} \right)} }
\]

（14）   计算模式样本与聚类中心间的平均距离$\bar D_j ,j=1,2$

\[
{\bar D_1 = \frac{1}{{N_1 }}\sum\limits_{x \in S_1 } {\left\| {x - z_1 } \right\|} = {\rm{ 2}}{\rm{.2806}}}
\]

\[
{\bar D_2 = \frac{1}{{N_2 }}\sum\limits_{x \in S_2 } {\left\| {x - z_2 } \right\|} = {\rm{2}}{\rm{.4093}}}
\]

（15）   计算全部模式样本和其对应聚类中心的总平均距离$\bar D$

\[
\bar D = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^N {N_j \bar D_j } = \frac{1}{{10}}\sum\limits_{j = 1}^2 {N_j \bar D_j = {\rm{2}}{\rm{.345}}} 
\]

（16）   因是偶数次迭代，所以进行合并

（17）   计算聚类对之间的距离

\[
{D_{12} = \left\| {z_1 - z_2 } \right\| = {\rm{4}}{\rm{.5651}}}
\]

（18）   比较$D_{12}$ 与θc ，$D_{12}$>θc，所以聚类中心不发生合并

（19）   没有达到所需的聚类数，所以继续进行，重新分类

\[
{\rm{S}}1 = \{ {\rm{x2,x6,x7,x8,x9,x10\} ,N}}_1 = 6
\]

\[
{\rm{S2 = \{ x1,x3,x4,x5\} ,N}}_2 = 4
\]

（20）   因N₁>θ_N 且N₂>θ_N，无子集可抛。

（21）   修改聚类中心

\[
{z_1 = \frac{1}{{N_1 }}\sum\limits_{x \in S_1 } {x = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{{\rm{5}}{\rm{.1667}}} \\
{{\rm{5}}{\rm{.3333}}} \\
\end{array}} \right)} }
\]

\[
{z_2 = \frac{1}{{N_2 }}\sum\limits_{x \in S_2 } {x = \left( {\begin{array}{*{20}c}
2 \\
{1.5} \\
\end{array}} \right)} }
\]

（22）   计算模式样本与聚类中心间的平均距离，$\bar D_1,j=1,2$

\[
{\bar D_1 = \frac{1}{{N_1 }}\sum\limits_{x \in S_1 } {\left\| {x - z_1 } \right\|} = {\rm{2}}{\rm{.2673}}}
\]

\[
{\bar D_2 = \frac{1}{{N_2 }}\sum\limits_{x \in S_2 } {\left\| {x - z_2 } \right\|} = {\rm{1}}{\rm{.868}}}
\]

（23）   计算全部模式样本和其对应聚类中心的总平均距离$\bar D$

\[
\bar D = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^N {N_j \bar D_j } = \frac{1}{{10}}\sum\limits_{j = 1}^2 {N_j \bar D_j = {\rm{ 2}}{\rm{.1076}}} 
\]

（24）   此次是奇数次迭代，并且$N_c>\frac{K}{2}$，所以进行分裂操作

（25）   计算${\rm{S}}1 = \{ {\rm{x2,x6,x7,x8,x9,x10\} }}$

和$S21 = \{ x1,x3,x4,x5\} $

的标准差

\[
\sigma _1 = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{1.3437} \\
{1.972} \\
\end{array}} \right),\sigma _2 = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{1.8708} \\
{1.118} \\
\end{array}} \right)
\]

（26）${\rm{\sigma }}_{{\rm{1max}}} {\rm{ = 1}}{\rm{.972,\sigma }}_{{\rm{2max}}} {\rm{ = 1}}{\rm{.8708}}$

（27）此时，$\sigma_{1\max}=1.972>\theta_s,N_1=6>2(\theta_N+1)=4$且$\bar D_1>\bar D $,所以满足分裂的条件，将S1进行分裂。

设$\r_j=0.5\sigma_{1\max}\approx 0.986$,则

\[
{z_1^ + = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{{\rm{5}}{\rm{.1667}}} \\
{{\rm{6}}{\rm{.3193}}} \\
\end{array}} \right),z_1^ - = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{{\rm{5}}{\rm{.1667}}} \\
{{\rm{4}}{\rm{.3473}}} \\
\end{array}} \right)}
\]

 为方便起见，将$Z_1^+$和$Z_^-$表示为$Z_{11}$和$Z_{12}$,$N_c$加1，$N_c=3$.

（28）重新进行分类

\[S11=\{x2,x6\},N_{11}=2\]

\[S12=\{x5,x7,x8,x9,10\},N_{12}=5\]

（29）   因N₁₁>θ_N 且N₁₂>θ_N且N₂>θ_N，无子集可抛

（30）   修改聚类中心

\[S2=\{x1,x3,x4\},N_2=3\]

\[
{z_{11} = \frac{1}{{N_{11} }}\sum\limits_{x \in S_{11} } {x = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{3.5} \\
8 \\
\end{array}} \right)} }
\]

\[
{z_{12} = \frac{1}{{N_{12} }}\sum\limits_{x \in S_{12} } {x = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{5.8} \\
{3.8} \\
\end{array}} \right)} }
\]

\[
{z_2 = \frac{1}{{N_2 }}\sum\limits_{x \in S_2 } {x = \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
1 \\
\end{array}} \right)} }
\]

（31）   计算模式样本与聚类中心间的平均距离$\bar D_j$

\[
{\bar D_{11} = \frac{1}{{N_{11} }}\sum\limits_{x \in S_{11} } {\left\| {x - z_{11} } \right\|} = {\rm{ 0}}{\rm{.5}}}
\]

\[
{\bar D_{12} = \frac{1}{{N_{12} }}\sum\limits_{x \in S_{12} } {\left\| {x - z_{12} } \right\|} = {\rm{ 0}}{\rm{.9521}}}
\]

\[
{\bar D_2 = \frac{1}{{N_2 }}\sum\limits_{x \in S_2 } {\left\| {x - z_2 } \right\|} = {\rm{0}}{\rm{.94281}}}
\]

（32）   计算全部模式样本和其对应聚类中心的总平均距离$\bar D$

\[
\bar D = \frac{1}{N}\sum\limits_{}^{} {N_j \bar D_j } = \frac{1}{{10}}\sum\limits_{}^{} {N_j \bar D_j = {\rm{0}}{\rm{.85889}}} 
\]

（33）   因是偶数次迭代，所以进行合并

（34）   计算聚类对之间的距离

所以

\[
{D_{1112} = \left\| {z_{11} - z_{12} } \right\| = {\rm{4}}{\rm{.7885 > }}\theta _c = 4}
\]

\[
{D_{112} = \left\| {z_{11} - z_2 } \right\| = 7.433{\rm{ > }}\theta _c = 4}
\]

\[
{D_{122} = \left\| {z_{12} - z_2 } \right\| = 5.557{\rm{ > }}\theta _c = 4}
\]

            故没有可以合并的类

（35）   最后一次迭代，算法结束。

             最终的聚类结果是

\[
S_1 = \{ x_2 ,x_6 \} ,S_2 = \{ x_5 ,x_7 ,x_8 ,x_9 ,x_{10} \} ,S_3 = \{ x_1 ,x_3 ,x_4 \} ,N_2 = 3
\]

该资料整理于国科大《模式识别》讲稿和作业。

聚类算法：ISODATA算法