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dilworth定理的通俗讲解

度娘定义:在数学理论中的序理论与组合数学中,Dilworth定理根据序列划分的最小数量的链描述了任何有限偏序集的宽度。其名称取自数学家Robert P. Dilworth。

 

反链是一种偏序集,其任意两个元素不可比;而链则是一种任意两个元素可比的偏序集。Dilworth定理说明,存在一个反链A与一个将序列划分为链族P的划分,使得划分中链的数量等于集合A的基数。当存在这种情况时,对任何至多能包含来自P中每一个成员一个元素的反链,A一定是此序列中的最大反链。同样地,对于任何最少包含A中的每一个元素的一个链的划分,P也一定是序列可以划分出的最小链族。偏序集的宽度被定义为A与P的共同大小。

另一种Dilworth定理的等价表述是:在有穷偏序集中,任何反链最大元素数目等于任何将集合到链的划分中链的最小数目。一个关于无限偏序集的理论指出,在此种情况下,一个偏序集具有有限的宽度w,当且仅当它可以划分为最少w条链。

 

归纳性证明

令P为一有限偏序集,理论认为P为空集时显然成立。假设P最少有一个元素,令a为P中的极大值。
根据归纳法,假设存在一整数k,使得偏序集
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可以被k个不相交的链
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覆盖,且最少存在一个大小为k的反链
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。显然,
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。令
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的极大值,
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中大小为k的反链,令
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为包含
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的大小为k的反链。确定任意不等的索引
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,那么
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。令
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,根据
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的定义,
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。因此,由
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推断出
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。通过交换
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,可以得到
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。由此得证,A为反链。
现在来讨论P。首先假设,
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。令K为链
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。那么,通过选择
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,使得
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不包含大小为k的反链。由于
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中大小为k-1的反链,归纳推出
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可以被k-1个不相交的链覆盖。因此,正如所需要证明的,P可以被k个不相交的链覆盖。其次,如果
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,那么由于a是P的极大值,
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为P中大小为k+1的反链。现在,P可以被k+1个链
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覆盖。到此,定理全部证明结束。
 下面 正文开始(如果你上面的内容看懂了,请给我讲一讲,毕竟我也只是一直来自春田花花幼儿园的蒟蒻)
对于dilworth定理,我的理解就是:
在一个序列中 最长下降子序列的个数就等于其最长不下降子序列的长度
举例:1 2 3 2 3
  最长下降子序列:3 2-->长度为2
  最长不下降子序列:1 2 3-->长度为3
反之也一样。
那么,你明白了吗?
反正我是明白了
 
 

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