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逆元详解 （转载）

2024-08-02 23:52:56   220人阅读

转载自： http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787

 

今天我们来探讨逆元在ACM-ICPC竞赛中的应用，逆元是一个很重要的概念，必须学会使用它。

 

对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

 

逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为。

 

推导过程如下

                            

 

求现在来看一个逆元最常见问题，求如下表达式的值（已知）

 

           

 

当然这个经典的问题有很多方法，最常见的就是扩展欧几里得，如果是素数，还可以用费马小定理。

 

但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求与互素。实际上我们还有一

种通用的求逆元方法，适合所有情况。公式如下

 

          

 

现在我们来证明它，已知，证明步骤如下

 

          

 

接下来来实战一下，看几个关于逆元的题目。

 

题目：http://poj.org/problem?id=1845

 

题意：给定两个正整数和，求的所有因子和对9901取余后的值。

 

分析：很容易知道，先把分解得到，那么得到，那么

     的所有因子和的表达式如下

 

    

 

所以我们有两种做法。第一种做法是二分求等比数列之和。

 

代码：

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. #include <iostream>  
  2. #include <string.h>  
  3. #include <stdio.h>  
  4.   
  5. using namespace std;  
  6. typedef long long LL;  
  7. const int N = 10005;  
  8. const int MOD = 9901;  
  9.   
  10. bool prime[N];  
  11. int p[N];  
  12. int cnt;  
  13.   
  14. void isprime()  
  15. {  
  16.     cnt = 0;  
  17.     memset(prime,true,sizeof(prime));  
  18.     for(int i=2; i<N; i++)  
  19.     {  
  20.         if(prime[i])  
  21.         {  
  22.             p[cnt++] = i;  
  23.             for(int j=i+i; j<N; j+=i)  
  24.                 prime[j] = false;  
  25.         }  
  26.     }  
  27. }  
  28.   
  29. LL power(LL a,LL b)  
  30. {  
  31.     LL ans = 1;  
  32.     a %= MOD;  
  33.     while(b)  
  34.     {  
  35.         if(b & 1)  
  36.         {  
  37.             ans = ans * a % MOD;  
  38.             b--;  
  39.         }  
  40.         b >>= 1;  
  41.         a = a * a % MOD;  
  42.     }  
  43.     return ans;  
  44. }  
  45.   
  46. LL sum(LL a,LL n)  
  47. {  
  48.     if(n == 0) return 1;  
  49.     LL t = sum(a,(n-1)/2);  
  50.     if(n & 1)  
  51.     {  
  52.         LL cur = power(a,(n+1)/2);  
  53.         t = (t + t % MOD * cur % MOD) % MOD;  
  54.     }  
  55.     else  
  56.     {  
  57.         LL cur = power(a,(n+1)/2);  
  58.         t = (t + t % MOD * cur % MOD) % MOD;  
  59.         t = (t + power(a,n)) % MOD;  
  60.     }  
  61.     return t;  
  62. }  
  63.   
  64. void Solve(LL A,LL B)  
  65. {  
  66.     LL ans = 1;  
  67.     for(int i=0; p[i]*p[i] <= A; i++)  
  68.     {  
  69.         if(A % p[i] == 0)  
  70.         {  
  71.             int num = 0;  
  72.             while(A % p[i] == 0)  
  73.             {  
  74.                 num++;  
  75.                 A /= p[i];  
  76.             }  
  77.             ans *= sum(p[i],num*B) % MOD;  
  78.             ans %= MOD;  
  79.         }  
  80.     }  
  81.     if(A > 1)  
  82.     {  
  83.         ans *= sum(A,B) % MOD;  
  84.         ans %= MOD;  
  85.     }  
  86.     cout<<ans<<endl;  
  87. }  
  88.   
  89. int main()  
  90. {  
  91.     LL A,B;  
  92.     isprime();  
  93.     while(cin>>A>>B)  
  94.         Solve(A,B);  
  95.     return 0;  
  96. }  

 

第二种方法就是用等比数列求和公式，但是要用逆元。用如下公式即可

 

                     

 

因为可能会很大，超过int范围，所以在快速幂时要二分乘法。

 

代码：

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. #include <iostream>  
  2. #include <string.h>  
  3. #include <stdio.h>  
  4.   
  5. using namespace std;  
  6. typedef long long LL;  
  7. const int N = 10005;  
  8. const int MOD = 9901;  
  9.   
  10. bool prime[N];  
  11. int p[N];  
  12. int cnt;  
  13.   
  14. void isprime()  
  15. {  
  16.     cnt = 0;  
  17.     memset(prime,true,sizeof(prime));  
  18.     for(int i=2; i<N; i++)  
  19.     {  
  20.         if(prime[i])  
  21.         {  
  22.             p[cnt++] = i;  
  23.             for(int j=i+i; j<N; j+=i)  
  24.                 prime[j] = false;  
  25.         }  
  26.     }  
  27. }  
  28.   
  29. LL multi(LL a,LL b,LL m)  
  30. {  
  31.     LL ans = 0;  
  32.     a %= m;  
  33.     while(b)  
  34.     {  
  35.         if(b & 1)  
  36.         {  
  37.             ans = (ans + a) % m;  
  38.             b--;  
  39.         }  
  40.         b >>= 1;  
  41.         a = (a + a) % m;  
  42.     }  
  43.     return ans;  
  44. }  
  45.   
  46. LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)  
  47. {  
  48.     LL ans = 1;  
  49.     a %= m;  
  50.     while(b)  
  51.     {  
  52.         if(b & 1)  
  53.         {  
  54.             ans = multi(ans,a,m);  
  55.             b--;  
  56.         }  
  57.         b >>= 1;  
  58.         a = multi(a,a,m);  
  59.     }  
  60.     return ans;  
  61. }  
  62.   
  63. void Solve(LL A,LL B)  
  64. {  
  65.     LL ans = 1;  
  66.     for(int i=0; p[i]*p[i] <= A; i++)  
  67.     {  
  68.         if(A % p[i] == 0)  
  69.         {  
  70.             int num = 0;  
  71.             while(A % p[i] == 0)  
  72.             {  
  73.                 num++;  
  74.                 A /= p[i];  
  75.             }  
  76.             LL M = (p[i] - 1) * MOD;  
  77.             ans *= (quick_mod(p[i],num*B+1,M) + M - 1) / (p[i] - 1);  
  78.             ans %= MOD;  
  79.         }  
  80.     }  
  81.     if(A > 1)  
  82.     {  
  83.         LL M = MOD * (A - 1);  
  84.         ans *= (quick_mod(A,B+1,M) + M - 1) / (A - 1);  
  85.         ans %= MOD;  
  86.     }  
  87.     cout<<ans<<endl;  
  88. }  
  89.   
  90. int main()  
  91. {  
  92.     LL A,B;  
  93.     isprime();  
  94.     while(cin>>A>>B)  
  95.         Solve(A,B);  
  96.     return 0;  
  97. }  


 

其实有些题需要用到模的所有逆元，这里为奇质数。那么如果用快速幂求时间复杂度为，

如果对于一个1000000级别的素数，这样做的时间复杂度是很高了。实际上有的算法，有一个递推式如下

 

                   

 

它的推导过程如下，设，那么

 

       

 

对上式两边同时除，进一步得到

 

       

 

再把和替换掉，最终得到

 

       

 

初始化，这样就可以通过递推法求出模奇素数的所有逆元了。

 

另外模的所有逆元值对应中所有的数，比如，那么对应的逆元是。

 

 

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2186

 

题意：求中互质的数的个数，其中。

 

分析：因为，所以，我们很容易知道如下结论

     对于两个正整数和，如果是的倍数，那么中与互素的数的个数为

 

     本结论是很好证明的，因为中与互素的个数为，又知道，所以

     结论成立。那么对于本题，答案就是

 

     

 

      其中为小于等于的所有素数，先筛选出来即可。由于最终答案对一个质数取模，所以要用逆元，这里

      求逆元就有技巧了，用刚刚介绍的递推法预处理，否则会TLE的。

 

代码：

[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
 
  1. #include <iostream>  
  2. #include <string.h>  
  3. #include <stdio.h>  
  4. #include <bitset>  
  5.   
  6. using namespace std;  
  7. typedef long long LL;  
  8. const int N = 10000005;  
  9.   
  10. bitset<N> prime;  
  11.   
  12. void isprime()  
  13. {  
  14.     prime.set();  
  15.     for(int i=2; i<N; i++)  
  16.     {  
  17.         if(prime[i])  
  18.         {  
  19.             for(int j=i+i; j<N; j+=i)  
  20.                 prime[j] = false;  
  21.         }  
  22.     }  
  23. }  
  24.   
  25. LL ans1[N],ans2[N];  
  26. LL inv[N];  
  27.   
  28. int main()  
  29. {  
  30.     isprime();  
  31.     int MOD,m,n,T;  
  32.     scanf("%d%d",&T,&MOD);  
  33.     ans1[0] = 1;  
  34.     for(int i=1; i<N; i++)  
  35.         ans1[i] = ans1[i-1] * i % MOD;  
  36.     inv[1] = 1;  
  37.     for(int i=2;i<N;i++)  
  38.     {  
  39.         if(i >= MOD) break;  
  40.         inv[i] = (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;  
  41.     }  
  42.     ans2[1] = 1;  
  43.     for(int i=2; i<N; i++)  
  44.     {  
  45.         if(prime[i])  
  46.         {  
  47.             ans2[i] = ans2[i-1] * (i - 1) % MOD;  
  48.             ans2[i] = ans2[i] * inv[i % MOD] % MOD;  
  49.         }  
  50.         else  
  51.         {  
  52.             ans2[i] = ans2[i-1];  
  53.         }  
  54.     }  
  55.     while(T--)  
  56.     {  
  57.         scanf("%d%d",&n,&m);  
  58.         LL ans = ans1[n] * ans2[m] % MOD;  
  59.         printf("%lld\n",ans);  
  60.     }  
  61.     return 0;  
  62. }  


 

接下来还有一个关于逆元的有意思的题目，描述如下

 

     

 

证明：由

 

     

 

     其中

 

     所以只需要证明，而我们知道模的逆元对应全部

     中的所有数，既是单射也是满射。

 

     所以进一步得到

 

      

 

      证明完毕！

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