设计过程分为三个阶段

         Divide： 整个问题划分为多个子问题  T(n)=D(n)

         Conquer：求解各子问题(递归调用正设计的算法)  T(n)=aT(n/b)

         Combine：合并子问题的解, 形成原始问题的解T(n)=C(n)

Note： 将规模为n的问题划分为a个子问题，每个问题的大小为n/b。（b可能不等于a！）

时间复杂度：T(n)=θ(1)     if n<c常数

                        T(n)=aT(n/b)+D(n)+C(n) 

经典问题1：归并排序

Divide阶段：在中间节点节段 时间为O(1)

Conquer阶段：两个子问题每个问题规模为n/2因此T(n)=2T(n/2)

Combine阶段：依次比对 O(n)

所以时间复杂度为 T(n)=2T(n/2)+O(n)   Master方法计算(第2种情况)T(n)=(nlogn)

经典问题2：大整数乘法

输入：n位二进制整数X和Y            输出：X和Y的乘积

分治思想：

X = A<<n/2+B  Y= C<<n/2 + D 即将大数划分为两个子部分

X*Y = （A<<n/2+B）*（C<<n/2+ D） = (A*C)<<n + （A*D+B*C）<<n/2 +C*D

将XY问题划分为计算AC，BD，AD，BC四个子问题，每个问题规模为n/2  (!!a不等于b)

T(n)=4T(n/2)+θ(n)  Master方法计算  Master方法计算(第一种情况)T(n)=(n^2)

优化：

（A-B）*（C-D） = AC+BD-(BC+AD) 所以XY的等式中（A*D+B*C）就可以用AC+BD+（B-A）（C-D）代替。

即，把原来计算AC，BD，AD，BC四个子问题，转换为AC、BD、CD三个子问题。

T(n)=3T(n/2)+θ(n)  计算的T(n)=O(n^(log2^3))≈O(n^(1.59))

经典问题3：矩阵乘法

输入：两个矩阵A、B           输出：A*B

分治：

一般思路就是划分了8个，规模为n/2的子问题。所以T(n)=8T(n/2)+θ(n)

可是减少子问题个数是优化的好的方向。之后就有善于思考的人提出用7个子问题实现：

M1 = A11 (B12 - B22)

M2 = (A11 + A12) B22

M3 = (A21 + A22) B11

M4 = A22 (B21 - B11)

M5 = (A11 + A22) (B11 + B22)

M6 = (A12 - A22) (B21 + B22)

M7= (A11 - A12) (B11 + B12)

之后就成功的降低时间复杂度。T(n)=7T(n/2)+θ(n)=O(n^(log2^7 ))≈O(n^(2.81))

上文说的经典分治算法，基本以减少子问题个数来降低时间复杂度，在划分和合并阶段没有特别的处理。

接下来的几章主要看比较有意思的三个问题。

分治算法Divide-and-Conquer概述