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【Unity技巧】四元数（Quaternion）和旋转

2024-08-03 21:20:06   217人阅读


四元数介绍


旋转，应该是三种坐标变换——缩放、旋转和平移，中最复杂的一种了。大家应该都听过，有一种旋转的表示方法叫四元数。按照我们的习惯，我们更加熟悉的是另外两种旋转的表示方法——矩阵旋转和欧拉旋转。矩阵旋转使用了一个4*4大小的矩阵来表示绕任意轴旋转的变换矩阵，而欧拉选择则是按照一定的坐标轴顺序（例如先x、再y、最后z）、每个轴旋转一定角度来变换坐标或向量，它实际上是一系列坐标轴旋转的组合。


那么，四元数又是什么呢？简单来说，四元数本质上是一种高阶复数（听不懂了吧。。。），是一个四维空间，相对于复数的二维空间。我们高中的时候应该都学过复数，一个复数由实部和虚部组成，即x = a + bi，i是虚数单位，如果你还记得的话应该知道i^2 = -1。而四元数其实和我们学到的这种是类似的，不同的是，它的虚部包含了三个虚数单位，i、j、k，即一个四元数可以表示为x = a + bi + cj + dk。那么，它和旋转为什么会有关系呢？


在Unity里，tranform组件有一个变量名为rotation，它的类型就是四元数。很多初学者会直接取rotation的x、y、z，认为它们分别对应了Transform面板里R的各个分量。当然很快我们就会发现这是完全不对的。实际上，四元数的x、y、z和R的那三个值从直观上来讲没什么关系，当然会存在一个表达式可以转换，在后面会讲。


大家应该和我一样都有很多疑问，既然已经存在了这两种旋转表示方式，为什么还要使用四元数这种听起来很难懂的东西呢？我们先要了解这三种旋转方式的优缺点：

  • 矩阵旋转
    • 优点：
      • 旋转轴可以是任意向量；
    • 缺点：
      • 旋转其实只需要知道一个向量+一个角度，一共4个值的信息，但矩阵法却使用了16个元素；
      • 而且在做乘法操作时也会增加计算量，造成了空间和时间上的一些浪费；

  • 欧拉旋转
    • 优点：
      • 很容易理解，形象直观；
      • 表示更方便，只需要3个值（分别对应x、y、z轴的旋转角度）；但按我的理解，它还是转换到了3个3*3的矩阵做变换，效率不如四元数；
    • 缺点：
      • 之前提到过这种方法是要按照一个固定的坐标轴的顺序旋转的，因此不同的顺序会造成不同的结果；
      • 会造成万向节锁（Gimbal Lock）的现象。这种现象的发生就是由于上述固定坐标轴旋转顺序造成的。理论上，欧拉旋转可以靠这种顺序让一个物体指到任何一个想要的方向，但如果在旋转中不幸让某些坐标轴重合了就会发生万向节锁，这时就会丢失一个方向上的旋转能力，也就是说在这种状态下我们无论怎么旋转（当然还是要原先的顺序）都不可能得到某些想要的旋转效果，除非我们打破原先的旋转顺序或者同时旋转3个坐标轴。这里有个视频可以直观的理解下；

  • 四元数旋转
    • 优点：
      • 可以避免万向节锁现象；
      • 只需要一个4维的四元数就可以执行绕任意过原点的向量的旋转，方便快捷；
      • 可以提供平滑插值；
    • 缺点：
      • 比欧拉旋转稍微复杂了一点点，因为多了一个维度，但速度更快速；
      • 理解更困难，不直观；


四元数和欧拉角



基础知识



前面说过，一个四元数可以表示为q = w + xi + yj + zk，现在就来回答这样一个简单的式子是怎么和三维旋转结合在一起的。为了方便，我们下面使用q = ((x, y, z)，w) = (v, w)，其中v是向量，w是实数，这样的式子来表示一个四元数。

我们先来看问题的答案。我们可以使用一个四元数q=((x,y,z)sinθ2, cosθ2) 来执行一个旋转。具体来说，如果我们想要把空间的一个点P绕着单位向量轴u = (x, y, z)表示的旋转轴旋转θ角度，我们首先把点P扩展到四元数空间，即四元数p = (P, 0)。那么，旋转后新的点对应的四元数（当然这个计算而得的四元数的实部为0，虚部系数就是新的坐标）为：

p′=qpq?1

其中，q=(cosθ2, (x,y,z)sinθ2) ，q?1=q?N(q)，由于u是单位向量，因此
N(q)=1，即q?1=q?。右边表达式包含了四元数乘法。相关的定义如下：
  • 四元数乘法：q1q2=(v1→×v2→+w1v2→+w2v1→,w1w2?v1→?v2→)

  • 共轭四元数：q?=(?v? ,w)

  • 四元数的模：N(q)=N(v? )+w2

  • 四元数的逆：q?1=q?N(q)


它的证明这里不再赘述，有兴趣的可以参见这篇文章。主要思想是构建了一个辅助向量k，它是将p绕旋转轴旋转θ/2得到的。证明过程尝试证明wk?=kv?，以此证明w与v、k在同一平面内，且与v夹角为θ。

我们举个最简单的例子：把点P(1, 0, 1)绕旋转轴u = (0, 1, 0)旋转90°，求旋转后的顶点坐标。首先将P扩充到四元数，即p = (P, 0)。而q = (u*sin45°, cos45°)。求p′=qpq?1的值。建议大家一定要在纸上计算一边，这样才能加深印象，连笔都懒得动的人还是不要往下看了。最后的结果p` = ((1, 0, -1), 0)，即旋转后的顶点位置是(1, 0, -1)。

如果想要得到复合旋转，只需类似复合矩阵那样左乘新的四元数，再进行运算即可。需要注意的是，四元数旋转遵循的方向是右手坐标系。

我们来总结下四元数旋转的几个需要注意的地方：

  • 用于旋转的四元数，每个分量的范围都在（-1，1）；

  • 每一次旋转实际上需要两个四元数的参与，即q和q*；

  • 所有用于旋转的四元数都是单位四元数，即它们的模是1；


下面是几点建议：

  • 实际上，在Unity里即便你不知道上述公式和变换也丝毫不妨碍我们使用四元数，但是有一点要提醒你，除非你对四元数非常了解，那么不要直接对它们进行赋值。

  • 如果你不想知道原理，只想在Unity里找到对应的函数来进行四元数变换，那么你可以使用这两个函数：Quaternion.Euler和Quaternion.eulerAngles。它们基本可以满足绝大多数的四元数旋转变换。


和其他类型的转换


首先是轴角到四元数：

给定一个单位长度的旋转轴(x, y, z)和一个角度θ。对应的四元数为：
q=((x,y,z)sinθ2, cosθ2) 


这个公式的推导过程上面已经给出。

欧拉角到四元数：

给定一个欧拉旋转(X, Y, Z)（即分别绕x轴、y轴和z轴旋转X、Y、Z度），则对应的四元数为：

x = sin(Y/2)sin(Z/2)cos(X/2)+cos(Y/2)cos(Z/2)sin(X/2)
y = sin(Y/2)cos(Z/2)cos(X/2)+cos(Y/2)sin(Z/2)sin(X/2)
z = cos(Y/2)sin(Z/2)cos(X/2)-sin(Y/2)cos(Z/2)sin(X/2)
w = cos(Y/2)cos(Z/2)cos(X/2)-sin(Y/2)sin(Z/2)sin(X/2)
q = ((x, y, z), w)

它的证明过程可以依靠轴角到四元数的公式进行推导。

其他参考链接：

1. Euler to Quaternion
2. Quaternion To Euler
3. AngleAxis to Quaternion
4. Quaternion to AngleAxis


四元数的插值


这里的插值指的是球面线性插值。

设t是一个在0到1之间的变量。我们想要基于t求Q1到Q2之间插值后四元数Q。它的公式是：

Q3  = (sin((1-t)A)/sin(A))*Q1 + (sin((tA)/sin(A))*Q2
Q = Q3/|Q3|，即单位化



四元数的创建


在了解了上述知识后，我们就不需要那么惧怕四元数了，实际上它和矩阵类似，不同的只是它的表示方式以及运算方式。那么在Unity里如何利用四元数进行旋转呢？Unity里提供了非常多的方式来创建一个四元数。例如Quaternion.AngleAxis(float angle, Vector3 axis)，它可以返回一个绕轴线axis旋转angle角度的四元数变换。我们可以一个Vector3和它进行左乘，就将得到旋转后的Vector3。在Unity里只需要用一个“ * ”操作符就可以进行四元数对向量的变换操作，相当于我们上述讲到的p′=qpq?1操作。如果我们想要进行多个旋转变换，只需要左乘其他四元数变换即可。例如下面这样：
Vector3 newVector = Quaternion.AngleAxis(90, Vector3.up) * Quaternion.LookRotation(someDirection) * someVector;

尽管欧拉角更容易我们理解，但四元数比欧拉角要强大很多。Unity提供了这两种方式供我们选择，我们可以选择最合适的变换。
例如，如果我们需要对旋转进行插值，我们可以首先使用Quaternion.eulerAngles来得到欧拉角度，然后使用Mathf.Clamp对其进行插值运算。
最后更新Quaternion.eulerAngles或者使用Quaternion.Euler(yourAngles)来创建一个新的四元数。

又例如，如果你想要组合旋转，比如让人物的脑袋向下看或者旋转身体，两种方法其实都可以，但一旦这些旋转不是以世界坐标轴为旋转轴，比如人物扭动脖子向下看等，那么四元数是一个更合适的选择。Unity还提供了transform.forward, transform.right and transform.up 这些非常有用的轴，这些轴可以和Quaternion.AngleAxis组合起来，来创建非常有用的旋转组合。例如，下面的代码让物体执行低头的动作：
transform.rotation = Quaternion.AngleAxis(degrees, transform.right) * transform.rotation;


关于Quaternion的其他函数，后面再补充吧，原理类似~





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