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【差分约束系统】【最短路】【spfa】CDOJ1646 穷且益坚， 不坠青云之志。
求一个有n个元素的数列，满足任意连续p个数的和不小于s， 任意连续q个数的和不大于t。
令sum[i]表示前i项的和(0<=i<=n,sum[0]=0) 那么题目的条件可转化为： sum[i]-sum[i-p]>=s (p<=i<=n) sum[i]-sum[i-q]<=t (q<=i<=n) 将第一个不等式取反，得到 sum[i-p]-sum[i]<=-s(p<=i<=n)
于是问题转化为求一系列不等式的解，这是一个典型的差分约束问题。 考虑最短路径的性质，令dis[i]表示从s到i的最短路，则对于图中存在的一条边(u,v),有 dis[v]<=dis[u]+w(u,v),即dis[v]-dis[u]<=w(u,v); 类比不等式，于是可建图，i向i-p引长度为-s的边，i-q向i引长度为t的边。 然后运行bellmanford，如果存在负环，则无解， 否则所得到的最短路的值就是sum[i]的一个解。 时间复杂度：O(VE) 具体原理及证明见《算法导论》P387
注意这里只需要求出可行解，故而建立一个虚拟结点的方法是可行的。
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,p,q,K1,K2;
queue<int>Q;
bool inq[510];
int dis[510],sumv[510];
int v[510*3],__next[510*3],e,w[510*3],first[510],cnts[510];
void AddEdge(int U,int V,int W){
v[++e]=V;
w[e]=W;
__next[e]=first[U];
first[U]=e;
}
bool spfa(const int &s)
{
memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
dis[s]=0; Q.push(s); inq[s]=1; ++cnts[s];
while(!Q.empty())
{
int U=Q.front();
for(int i=first[U];i;i=__next[i])
if(dis[v[i]]>dis[U]+w[i])
{
dis[v[i]]=dis[U]+w[i];
if(!inq[v[i]])
{
Q.push(v[i]);
inq[v[i]]=1;
++cnts[v[i]];
if(cnts[v[i]]>n+1)
return 0;
}
}
Q.pop(); inq[U]=0;
}
return 1;
}
int main(){
scanf("%d%d%d%d%d",&n,&p,&q,&K1,&K2);
for(int i=0;i+p<=n;++i){
AddEdge(p+i,i,-K1);
}
for(int i=0;i+q<=n;++i){
AddEdge(i,q+i,K2);
}
for(int i=0;i<=n;++i){
AddEdge(n+1,i,0);
}
if(!spfa(n+1)){
puts("No");
return 0;
}
puts("Yes");
for(int i=1;i<=n;++i){
sumv[i]=dis[i]-dis[0];
}
for(int i=1;i<n;++i){
printf("%d ",sumv[i]-sumv[i-1]);
}
printf("%d\n",sumv[n]-sumv[n-1]);
return 0;
}
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