（Grothendieck 定理）有限测度空间 $\left( {X,\mu } \right)$ 满足：

1.$E$ 是某个 ${L^p}$ 的闭子空间，其中$1 \leqslant p < \infty $;

2.$E \subset {L^\infty }$

则 $E$ 是有限维的。

分析：由于 E 中的函数本质有界，而 X 有限测度，所以 E 其实含于每个 Lp (p>1)\[{\left\| f \right\|_{{L^p}}} \leqslant {\left\| f \right\|_{{L^\infty }}}\mu {\left( X \right)^{\frac{1}{p}}}\]

Lp 的闭子空间