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【线性代数】正交向量与正交子空间

在前面文章《矩阵的四个基本子空间》中提到:
        一个秩为r,m*n的矩阵A中,其行空间和列空间的维数为r,零空间和左零空间的维数分别为n-r,m-r,并且有行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。
       “掌握上面的这个结论就掌握了线性代数的半壁江山!”,MIT教授如是说。那么什么是正交子空间呢?我们首先从我们熟悉的正交向量说起。

1、正交向量

    我们都知道,如果两个向量x,y正交,则其夹角为90度,可表示为表达式:


注意:x,y的顺序没有区别,即下式也成立:


两个向量正交,可以表示为下图:


由勾股定理可知:


将上式展开得:


我们举例说明:假设两个向量分别为x,y,z=x+y:


其中x,y满足下式:


向量的长度(即向量的2范数)为:


显然满足勾股定理:

上面的推导,已证明勾股定理,自己可以仔细领会。

2、正交子空间

    定义:两个子空间正交即两个子空间的任意两个向量正交。
    文章开头说到,行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。下面我们来证明行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。
    
行空间与零空间正交的证明    
    在《矩阵的零空间》一文中,我们知道,Ax=0的解就是矩阵的零空间,则:

展开可得:

上式说明,矩阵的每一行向量都与零空间正交,而矩阵的行空间就是其行向量的线性组合,则说明行空间与零空间正交。同理,我们亦可以证明列空间与左零空间正交,在此就不重复了。


原文:http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41171579

作者:nineheadedbird



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