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【matlab】matlab与线性代数实验基础


    matlab与线性代数实验基础

作者:xuan97916

一、行列式

     1、行列式的输入

      方括号内逐行键入元素,同一行元素用逗号或者空格,两行元素之间用分号隔开。

  在命令的末尾使用分号会终止输出!

A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

  2、行列式元素的表示

         可以用一个下标表示(从上到下之字形)也可以用两个下标表示(行列)如

         A(1,2) =A(4)

3、行列式的基本运算

·         (1)读取整行:A(行数,:)

(2)读取整列:A(:,列数)

(3)读取行列式中的部分行列b=A([行数,行数```],[列数,列数```])

(4)去掉行列式中的某些行列

    A([行数,行数,…],:) =[ ]

    A(:,[列数,列数,…]) =[ ]

(5)计算行列式的值

det(A)

二、矩阵

     1、矩阵的输入

         生成m阶单位方阵:eye(m)

生成m*n阶单位矩阵:eye(m,n)

生成m阶全1方阵:ones(m)

生成m*n阶全1矩阵:ones(m,n)

生成m阶全0方阵:zero(m)

生成m*n阶全0矩阵:zeros(m,n)

 2、矩阵的输入

     加法:A+B

减法:A-B

数乘:k*A

矩阵乘法:A*B

矩阵转置:A’或者Transpose[A]

矩阵的逆:inv(A)

矩阵的行列式 det(A)

矩阵的幂:A^m

3、矩阵的相关函数

     (1)生成矩阵的行数与列数:size(A)

              第一个数是矩阵的行数,第二个数是矩阵的列数。

     (2)生成对角矩阵:diag(A)

              生成对角矩阵主对角线上的元素

     (3)生成上三角矩阵:triu(A)

     (4)生成下三角矩阵:tril(A)

三、矩阵的应用
     1、向量组的秩:rank(A)

2、判断线性相关性

一般步骤(1)输入向量组

                  (2)用A’将行向量转置为列向量

··                 (3)用rref(A)命令求秩

例:判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。

>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵

>>A=A’   % 将行向量转置为列向量再求秩

>>rank(A)   %求秩

Ans = 3

(注意:当rank(A)等于向量组个数时,线性无关,否则线性相关)

     3、求向量组的极大无关组

     一般步骤:(1)输入向量组,并将其进行转置

                    (2)化为分数形式

                    (3)将向量化为行最简型

                   (4)对线性相关性进行判断

     注:将矩阵化为行最简型的命令为:rref(A)或者rrefmovie(A)

  例1:求下列向量组的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。

a1=(2 -1 3 5)a2=(4 -3 1 3),a3=(3 -2 3 4),

a4=(4 -1 15 17)a5=(7 -6 -7 0)

>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];

>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算

>> format rat   %分数格式形式

>> rref(A)  %将A变换为行最简型

ans =

        1      0    0     2     1

        0      1    0    -3     5

        0      0    1     4    -5

        0      0    0     0     0

 因为前三行的向量均不全为0,且第1,2,3列的均为1开头,所以a1,a2,a3为一个极大无关组。

 

例2:求下列向量组的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。
a1
=(1,-2,2,3),a2=(-2,4,-1,3),a3=(-1,2,0,3),a4=(0,6,2,3),a5=(2,-6,3,4) 

解:

A=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]

>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算

>> format rat   %分数格式形式

>> rref(A)  %将A变换为行最简型

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A1,a2,a4为一个线性无关组,a3,a5可用其其线性表示

3、线性方程组的求解

         (1)使用克莱姆法则求解

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>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];  %输入系数矩阵

>>D=det(A)  %判断解的情况

D =  27     

>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];

%将A赋值给不同变量

>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列

x1=D1/D    %x求解x1

x1 = 3

>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D

>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D        

>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D

(2)使用矩阵左除法求线性方程的解

线性方程组AX=B的一个解为X=A\B

例:利用左除法求解上题中线性方程组的解.

>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

>>rank(A)

>> b=[8;9;-5;0];

>> x=A\b        %左除法

x =

    3.0000

   -4.0000

   -1.0000

    1.0000

(3)利用矩阵的行(列)初等变换求线性方程组的通解

  基本步骤:(1)将线性方程组表示成增广矩阵的形式;

(2)对增广矩阵实行初等变换,使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵;

(3)得到方程组的解。

例:求解线性方程组

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>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3];     %方程组的增广矩阵

>>F=rref(A);    %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵

>>F  %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵

F =

     1     0    2     0

     0     1   -1     1

     0     0    0     0

由该阶梯形矩阵,可得方程组:x1=-2x3    x2=x3+1

方程组解为:



(4)求非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组需要先判断是否有解,若有解,再进一步求通解。

一般步骤为:

第一步:判断AX=b是否有解,若有解则进行第二步;(R(A)R(A,b)比较,即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩)

第二步:求AX=b的一个特解;(矩阵除法)

第三步:求AX=0的通解;(利用null命令)

第四步:AX=b的通解:AX=0的通解+AX=b的一个特解。

例:判断方程组

%第一步:判断系数矩阵与增广矩阵的秩

>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];    %系数矩阵A

>> b=[1;1;-1];    %常数b

>> rank(A)     %系数矩阵的秩

ans =

     2

>> rank([A,b])    %增广矩阵的秩

ans =

     2

%求通解

化行最简形,用rref命令

>> rref([A,b])

ans =

     1    -1    0     0     0

     0     0    1    -1     1

     0     0    0     0     0

取x2,x4为自由变量,从而通解为:x1=x2,x3=x4+1

(2)先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null,例如:

>>x0=A\b       %方程组的一个特解

x0 =

     0

     0

     1

     0

>>x1=null(A)    %求导出组的基础解系

x1 =

  -0.7071               0

   -0.7071               0

   -0.0000        0.7071

  -0.0000       0.7071

故原方程组的通解为

(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0)   +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.

null是用来求齐次线性方程组的基础解系的,加上‘r‘则求出的是一组最小正整数解,如果不加,则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,‘r‘))

四、运用矩阵运算进行图像处理

     1、图像的读写

         Imread:读入各种图像文件

        [I,map]=imread(‘face.gif’)

         Imwrite:输出图像,将图像数据矩阵写入文件中

         Imwrite(i,‘face.gif’)

         Imwrite(i,map,‘face.gif’)

     2、图像的显示

         Imshow:显示各种图像的函数

              其中I是图像数据矩阵,map是对应的颜色矩阵:

              [I,map]=imread(‘face.gif’)

              Imshow(I,map)

3、窗口的多开

[I,map]=imread(‘face.gif’)

Imshow(i.map)

[j,map]=imread(‘flowers.gif’)

Figure,imshow(j,map)  %实现(j,map)窗口的多开

4、查看图像的大小

     [I,map]=imread(‘face1.gif’)

Size(i)

Ans=140 144   %表示高为140 宽为144

5、多幅图像显示在同一个对话框中

    Subplot(n,m,p)将一个显示对话框分成m行n列,并显示第p幅图像

    Subplot(2,2,3),imshow(I3),title(‘I3图像’)

    表示将一个图像显示对话框分成2行2列,并在第3个位置显示I3图像,图像标题为“   I3图像”

           6、读取图像的基本操作

       例1:读取gif类型的图像

       >>[i.map]=imread(‘face.gif’)

       >>Size(i)

       >>size(map)

      >>imshow(i.map)

       >>A=[0 0 0;0 1 0;0 0 1] %设置颜色变换矩阵A

       >>map=map*A       %利用矩阵修改颜色表数据map

       Imshow(I,map)

       例2:读取jpg类型的图像文件

       >>[I,map]=imread(‘face.jpg’)

       >>size(i)

       >>size(map)

       >>imshow(I,map)

       >>i((:,:,2)=i(:,:,2)*0 //将绿色矩阵的值设置为0

       >>imshow(I,map)

7、图像相加、相减、数乘

    (1)相加:降低图像噪声的影响

    (2)相减:将两图的差异显示出来

    (3)数乘:数乘大于1的数,亮度增加;

                      数乘小于1的数,图像变暗

五、在处理图像水印中的应用

    将水印嵌入到图像中实质上是进行两个图像矩阵的加法运算

去掉水印则是进行矩阵减法运算。

(1)例:利用矩阵运算往图像中嵌入文字水印的例子。

1.读取原图像hudie.jpg到I中。

>>I=imread(‘hudie.jpg‘);

>>imshow(I)

2.读取原图像hudie.jpg的大小,并将图像的高、宽存到mn中。

>>s=size(I);

>> m=s(1)

>> n=s(2)

3.读取水印图像huaduo_sy.jpg到J中,并将图像大小调整成与原图像相同。使用imresize()函数可以改变图像的大小。

>>J=imread(‘xiaohui_sy.jpg‘);

>>imshow(J);

>>J1=imresize(J,[m,n]);          //将图像矩阵J的高、宽变为m*n

4.将水印图像的红、绿、蓝三个颜色矩阵乘上系数0.3,以降低像素点颜色的饱和度。

>>J1(:,:,1)= J1(:,:,1)*0.3;

>>J1(:,:,2)= J1(:,:,2)*0.3;

>>J1(:,:,3)= J1(:,:,3)*0.3;

5.将原图像与改变后的水印图像相加,嵌入水印。

>>I1=im2double(I);

>>J2=im2double(J1);

>> A=I1+J2;

>>imshow(A);

6.将嵌入水印后的图像保存在hudie_add.jpg文件中。

>>imwrite(A,‘hudie_add.jpg‘)

7.将处理过的数字图像水印保存在xiaohui_syh.jpg文件中。

>>imwrite(J1, ‘xiaohui_syh.jpg‘)

(2)去掉数字图像水印

例:利用矩阵运算去掉图像中的数字图像水印的例子。

1.读取嵌入水印的图像hudie_add.jpg到SA中。

>>SA=imread(‘hudie_add.jpg‘);

>> imshow(SA)  

2.读取处理过的水印图像xiaohui_syh.jpg到I中。

>> I=imread(‘xiaohui_syh.jpg‘);

3.将嵌入水印后的图像与处理后的水印图像相减,去掉水印。

>> SA1=im2double(SA);

>> I1=im2double(I);

>> A=SA1-I1;

>> imshow(A);

六、利用矩阵运算实现图形的几何变换

     1.二维图形变换

         

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2、二维图形组合变换

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3、plot函数

1)plot(Y)

         如果Y 是向量,则以向量的索引为横坐标,以向量元素值为纵坐标绘制图形,以直线段顺序连接各点;如果 Y 是矩阵,则绘制 Y 的各列;如果 Y是复向量,则以复数的实部为横坐标,虚部为纵坐标绘制图形

(2)plot(x,y)

命令中的 x 和y 可以为向量和矩阵,当x和y的结构不同时,有不同的绘制方式。

x、y 均为 n 维向量时,以x 的元素为横坐标,y 的元素为纵坐标绘制图形。

x 为 n 维向量,y 为m×n 或 n×m 矩阵时,以 x 的元素为横坐标,绘制 y 的 m 个n 维向量。

x、y 均为 m×n 矩阵时,以x 的各列为横坐标,y 的对应列为纵坐标绘制图形。

(3)plot(x,y,LineSpec)

该命令中加入了 LineSpec参数,用于对图形外观的控制,包括线条的形状、颜色和点的形状、颜色。该参数的常用设置选项如表所示。

(4)图形的比例变换

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其中a代表横坐标放大的系数,d代表纵坐标放大的系数

     例1:由(1,2)、(4,5)、(3,6)三点组成的三角形,将其横坐标和纵坐标同时放大2倍,求所得三角形的三点坐标。

>>x=[1;4;3;1];   %将第一个坐标在末尾重复写一遍表示图形闭合

>>y=[2;5;6;2];

>>A=[x y];

>>C=[2 0;0 2]; %C为变换矩阵,使得其横纵坐标同时变为2倍

>>B=A*C;

>>a=B(:,1);

>>b=B(:,2);

>> plot(x,y,‘:‘,a,b)    %显示两个图形的对比状态

(5)图形的对称变换

     A)对称x轴

         变换矩阵为:

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B)对称Y轴

变换矩阵为:技术分享

C)对称坐标原点

     变换矩阵为:技术分享

(6)图形的旋转变换

图形在平面上绕坐标原点逆时针旋转   角,图形发生旋转变换。

变换矩阵为:技术分享  注意:变换角度单位为弧度角!

变换为:

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例:由(1,2)、(4,5)、(3,6)三点组成三角形,求将其逆时针旋转45弧度角后所得的图形。

x=[1;4;3;1];

y=[2;5;6;2];

A=[xy];

C=[cos(45)sin(45);-sin(45) cos(45)];

B=A*C;

a=B(:,1);

b=B(:,2);

plot(x,y,‘:‘,a,b)

(7)平移变换

将图形沿X方向移动距离m,沿Y方向移动距离n,图形形状保持不变,图形各点的坐标分别增加了平移量m和n。

平移变换的矩阵运算表示为 :

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例:由(1,2)、(4,5)、(3,6)三点组成三角形,求将其横坐标向右平移4,纵坐标向上平移5后所得的图形。

x=[1;4;3;1];

y=[2;5;6;2];

z=[1;1;1;1];

A=[x y z];

C=[1 00;0 1 0;4 5 1];

B=A*C;

a=B(:,1);

b=B(:,2);

plot(x,y, ‘:‘,a,b)

(8)综合应用

例:由(0,0)、(2,0)、(1,2)三点组成三角形,将其各点坐标沿轴向上平移4后,再绕坐标原点逆时针旋转45弧度后,求所得的图形。

x=[0;2;1;0];

y=[0;0;2;0];

z=[1;1;1;1];

A=[x yz];

C=[1 0 0;0 1 0;0 4 1];

D=[cos(45)sin(45) 0;-sin(45) cos(45) 0;0 0 1]; %如果进行了平移变化后,再进行旋转变换时,注意将旋转变化的矩阵的阶数提高,第一第二列补0,第三列为0 0 1

E=C*D;

B=A*E;

a=B(:,1);

b=B(:,2);

plot(x,y, ‘:‘,a,b)

七、Hill加密算法

     1、基本步骤

         加密:

         (1)将明文信息分组,每组s个数值,组成n组明文向量

         (2)选定一个加密密钥,其阶数为s,将这个密钥分别左乘每个数值矩阵

         (3)对矩阵进行模26运算,得到密文向量

例:

         解密:

即将密文按同样方式分组,用逆矩阵对其进行处理,对出现的负值加上26得到明文向量

>>x1=[19;20;21];  %密文1

>>x2=[4;25;13];  %密文2

>>x3=[1;20;8];         %密文3

>>A=[1 2 3;1 1 2;0 1 2]  %加密密钥

>>det(A)    %求矩阵的行列式,判断是否可逆

ans = -1

>>B=inv(A)   %B是A的逆

>>X1=A*x1;

>>X2=A*x2;

>>X3=A*x3;

>>y1=mod(X1,26)

>>y2=mod(X2,26)

>>y3=mod(X3,26)

>>x1=B*y1

>>x2=B*y2

>>x3=B*y3

最后,生成明文信息。MATLAB代码如下:

>> x1=mod(x1,26)

>>x2=mod(x2,26)

>>x3=mod(x3,26)

注意:要根据密码表的总数来确定模除法的数值



    作者:xuan97916

              参考资料: [1]王艳君,赵明华,李文斌,线性代数实验教程[M],清华大学出版社,2011.12






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