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【线性代数】最小二乘与投影矩阵

2024-08-06 07:51:09   222人阅读

前一篇文章《正交投影》中我们讲述了正交投影，现在我们来从正交投影的角度来看看我们熟悉的最小二乘法。我记得最早知道最小二乘法是在大一上高数课的时候，我们首先回顾一下什么是最小二乘法。
1、最小二乘法
        最近机器学习比较火，机器学习中的许多算法都是对信息进行分类，比如说支持向量机就是根据已知信息来分类，神经网络可以找到输入输出的关系（当然，不能给出具体的数学表达式），这两种算法都能找到输入与输出的关系，分类和回归总是相辅相成的。以后有时间也准备写写关于机器学习方面的算法。 言归正传，最小二乘法的作用也是从一组数据中找到输入与输出之间的关系。
        原理：
        设经验方程是y=F(x)，方程中含有一些待定系数an，给出真实值{(xi,yi)|i=1,2,...n},将这些x,y值代入方程然后作差，可以描述误差：yi-F(xi)，为了考虑整体的误差，可以取平方和，之所以要平方是考虑到误差可正可负直接相加可以相互抵消，所以记误差(注意误差函数的选择有很多种，我们选用典型的误差函数)为：

E=∑(yi-F(xi))^2

    它是一个多元函数，有an共n个未知量，现在要求的是最小值。所以必然满足对各变量的偏导等于0，于是得到n个方程：


n个方程确定n个未知量为常量是理论上可以解出来的。用这种误差分析的方法进行回归方程的方法就是最小二乘法。

2、最小二乘与投影

    我这个人不喜欢看这些理论，公式推导，而更喜欢用例子来展示算法的思想。例如，在二维坐标系中，有三点，(1,1),(2,2),(3,2)，那如何用一条直线来拟合这些点呢？

    首先，我们可以假设直线表达式如下所示：


然后计算误差函数：


在求得误差函数E对系数a,b的偏导，并使之为0：


由上式得到系数a,b的值，并得到拟合直线表达式：


通过最小二乘法得到的曲线如下：


线性代数角度看最小二乘法：
    同样假设拟合直线的表达式设为：

拟合的目的就是使得数据点都满足上述函数表达式，即：


用矩阵形式表示如下：


上面的式子通过高斯消元后，可以发现是无解的！
我们可以发现等式的左边Aa的值是矩阵A中各个列向量的线性组合，若Aa=b有解的话，则b一定在矩阵A的列空间内。上面的例子中，右边的向量显然不在其列空间中，因此方程无解。最小二乘法的思想就是在矩阵A的列空间中找到一个向量p，使得p与b的误差最小。下面我们就来求b:

Aa=p是肯定有解的，因为p在矩阵A的列空间中。要使得e向量的长度最短，当且仅当p为b在矩阵列空间上的投影！有上一篇《正交投影》中投影矩阵的通式可得：


那么将p代入公式Aa=p可得：


将具体数值代入得：


则可以得到：


b，p,e向量分别可以表示如下：


p，b在图中的表示如下：


【线性代数】最小二乘与投影矩阵


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