【线性代数】图与网络

2024-08-01 22:21:17 223人阅读

前面的关于线性代数的文章都是从数学的角度来讲解的，本文将换个角度来讲解问题。导师时常告诉我，凡事都要想想它的物理或实际意义，需要透过现象看本质，这样就能更加深刻的理解，这样就可以看看线性代数有什么实际的用途。

假设有如下电路网络：

图中有1，2，3，4号节点，y1，y2，y3，y4，y5五条边，箭头的指向标明可以电流流向。我们假设电流的出发点设为-1，到达点设为1，则我们可以通过矩阵来表示上述网络：

矩阵零空间的物理意义

我们首先考虑矩阵A的零空间，则有：

从上面的式子可以看出Ax的结果是各个节点之间的差值，假设Xi为第i点的电势，那我们就赋予了物理意义：Ax=0的意思是当节点电势取何值时，所有的节点之间的电势差为0。很显然，当所有节点等电势时显然成立，即：

我们将图中各边的电流用b表示，则有等式Ax=b。其中A表示了电路节点之间的关系，x代表了各点的电势，b代表了各边的电流。这样，我们就将一个物理问题数学化了。上面讨论中b=0，x中各个分量相同，即说明电势相同，网络中没有电流，这与我们的物理常识是一致的：电势差是产生电流的原因。

上面我们看了矩阵A的零空间，下面我们讨论矩阵A的左零空间，为了给我们的式子赋予实际意义，在下式中，我们假设y为每条边的电流，b为每个节点的电流值，b=0说明电流为0。

该式反应的是电流中的基尔霍夫电流定律：流入一个节点的电流与流出的是相等的，即合电流为0

举例说明，-Y1-Y3-Y4=0说明的是1号节点满足KCL的条件。我们可以通过高斯消元法求得解，但是我们可以通过图来得到解：

在电路网络图中，我们可以看到，1，2，3号节点构成一个回路，1，3，4号也构成一个回路，为了满足基尔霍夫电流定律，我们可以只让电流在回路中循环流动，即：我们可以得到两个特解：

那么左零空间可以表示为上述两个特解的线性组合。

对AT进行消元，我们可以发现其秩是3，即列中有三行是线性无关的。由上面的两个特解，我们知道第1，2，3列是相关的，第3，4，5列是相关的，除此之外的任意三列都是线性无关的。我们发现Y1,Y2,Y3恰好构成回路，Y3,Y4,Y5也恰好构成回路，这说明相关性是由回路产生的。

欧拉公式：回路数=边数-顶点数+1

前面文章说过，如果一个m*n的矩阵A的秩为r，则其左零空间的维数为m-r。在这里，左零空间的维数代表的是不相关的回路数，m代表的是边数，由于矩阵A的零空间是1维的，则列空间的维数为r=n-1。所以有下式成立（即欧拉公式）：

不相关的回路数=边数-顶点数+1

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41080571

作者：nineheadedbird

【线性代数】图与网络

声明：以上内容来自用户投稿及互联网公开渠道收集整理发布，本网站不拥有所有权，未作人工编辑处理，也不承担相关法律责任，若内容有误或涉及侵权可进行投诉：投诉/举报工作人员会在5个工作日内联系你，一经查实，本站将立刻删除涉嫌侵权内容。

联系
我们