2.2 位置化数字系统

在数字中符号所占据的位置决定了其表示的值。在该系统中，数字这样表示：

+-(S_k-1  ……S₂S₁S₀ ……S_-l)_b

它的值是： n = +-(S_k-1 * b^k-1 + …… + S₁ * b ¹ + S₀ * b⁰ + S_-1 * b^-1 + …… + S_-l * b^-l)

S是一套符号集，；b是底（或基数），它等于S符号集中的符号总数。

2.2.1 十进制系统（以10为底）

十进制(decimal)来源于拉丁词根decem。

在该系统中，底b = 10， 并且用10个符号来表示一个数。符号集S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

1. 整数

计算方法：

n = +-(S_k-1 * 10^k-1 + …… + S₁ * 10 ¹ + S₀ * 10⁰ )

S_k是1个数码， b=10是底，k是数码的数量。

 

例2.1 十进制系统中使用位置量表示整数+224

N = + (2* 10² + 2* 10 ¹ + 4* 10⁰ )

2.实数

n = +-(S_k-1 * 10^k-1 + …… + S₁ * 10 ¹ + S₀ * 10⁰ + S_-1 * 10^-1 + …… + S_-l * 10^-l)

与上面例子类似，用十进制数的各位数字乘以10的n次幂

2.2.2 二进制系统（以2为底）

二进制(binary)来源于拉丁词根bini

在该系统中，底b = 2，并且用两个符号来表示一个数，即S = {0, 1}。

数据和程序是以二进制模式（即位串）存储于计算机中的。这是因为计算机由电子开关制成，它们仅有开和关两种状态（即1和0）。

1.整数

N = +-(S_k-1 * 2^k-1 + …… + S₁ * 2 ¹ + S₀ * 2⁰ )

例2.4 十进制数25等值的二进制数(11001)

N = 1* 2⁴ + 1* 2³+ 0* 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰    =>  N = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25

2. 实数

与整数类似

2.2.3 十六进制系统（以16为底）

尽管二进制系统用于存储计算机数据，但是它并不便于在计算机外部表示数字，因为二进制符号过长。而十进制又不能直接显示存储在计算机中的是什么。

所以，十六进制和八进制则是用来克服这个问题。

十六进制系统(hexadecimal)来源于希腊词根hex和拉丁词根decem。

在该系统中， 底b = 16并且用16个符号来表示一个数。字符集是S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}。其中A, B, C, D, E, F分别等于10， 11， 12， 13， 14， 15。

1. 整数

2. 实数

以上两种数据类型计算方式都与二进制十进制相仿，只是将底b = 16。但十六进制的实数并不常见。

2.2.4 八进制系统（以8为底）

八进制(octal)来源于拉丁词根octo。

在该系统中，底b = 8并且用8个符号来表示一个数，S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

2.2.6 转换

1. 其他进制到十进制的转换

例2.8： 将二进制数110.11转换为十进制数

二进制	1	1	0	1	1
位置量	22	21	20	2-1	2-2
各部分结果	4 +	2 +	0 +	0.5 +	0.25
十进制	6.75

 

十六进制，八进制同理

2.十进制到其他进制的转换

1）转换整数部分

例2.11 将十进制数35转换为二进制数。从这个十进制数开始，一边连续寻找除以2得到的商和余数，一边左移。

35 % 2 = 1 –>二进制第一位

35  / 2 = 17 % 2 = 1 –>二进制第二位

17 / 2 = 8 % 2 = 0 –>二进制第三位

8 / 2 = 4 % 2 = 0 –>二进制第四位

4 / 2 = 2 % 2 = 0  ->二进制第五位

2 / 2 = 1 % 2 = 1 –>二进制第六位

1 / 2 = 0

最终结果： 100011

其他各个进制同理

2）转换小数部分

将小数部分连续乘以2，将结果的整数部分作为二进制位上的数，再取小数部分乘以2，如此反复，直到小数部分为0。

3）数码的数量

通过k = [log_bN]来计算出数码的数量。

3. 二进制与十六进制的转换

这两个进制之间存在一种关系：二进制中的4位恰好是十六进制中的1位。

例2.19 将二进制数10011100010转换为十六进制

a).先将这个二进制数拆分，4位一个单位： 100 1110 0010.

b).二进制100 = 十进制4 = 十六进制4    
    二进制1110 = 十进制14 = 十六进制E      
    二进制0010 = 十进制2 = 十六进制2

c).最终结果为4E2

反之同理

4. 二进制与八进制的转换

它们之间存在这么一种关系：二进制中的3位恰好是八进制中的1位。

与二进制，十六进制互转同理

5. 八进制与十六进制转换

     -). 从八进制转到十六进制：先将八进制转到二进制。将位数重排成4位一组，找到十六进制的对等值

     -). 从十六进制转到八进制：先将十六进制转到二进制。将位数重排成3位一组，找到八进制的对等值。

补基础：自学：计算机科学导论 第二章 数字系统