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Sqrt(x)
Implement int sqrt(int x)
.
Compute and return the square root of x.
这里给出两种实现方法:一是二分搜索,二是牛顿迭代法。
1. 二分搜索
对于一个非负数n,它的平方根不会小于大于(n/2+1)。在[0, n/2+1]这个范围内可以进行二分搜索,求出n的平方根。
C++实现代码:
#include<iostream>using namespace std;class Solution {public: int sqrt(int x) { if(x==0||x==1) return x; long long mid; long long left=1; long long right=x/2+1; while(left<=right) { mid=(left+right)/2; if(mid*mid==x) return mid; else if(mid*mid<x) left=mid+1; else right=mid-1; } return right; }};int main(){ Solution s; cout<<s.sqrt(2147483647)<<endl;}
注意:要将mid声明为long long,防止mid*mid溢出。
2. 牛顿迭代法 参考:http://www.cnblogs.com/AnnieKim/archive/2013/04/18/3028607.html
为了方便理解,就先以本题为例:
计算x2 = n的解,令f(x)=x2-n,相当于求解f(x)=0的解,如左图所示。
首先取x0,如果x0不是解,做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线,与x轴的交点为x1。
同样的道理,如果x1不是解,做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线,与x轴的交点为x2。
以此类推。
以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。
判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法:
一是直接计算f(xi)的值判断是否为0,二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。
经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi),其中f‘(x)为f(x)的导数,本题中为2x。令切线方程等于0,即可求出xi+1=xi - f(xi) / f‘(xi)。
继续化简,xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。
有了迭代公式,程序就好写了。关于牛顿迭代法,可以参考wikipedia以及百度百科。
int sqrt(int x) { if (x == 0) return 0; double last = 0; double res = 1; while (res != last) { last = res; res = (res + x / res) / 2; } return int(res);}
Sqrt(x)