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Sqrt(x)

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

这里给出两种实现方法:一是二分搜索,二是牛顿迭代法。

1. 二分搜索

对于一个非负数n,它的平方根不会小于大于(n/2+1)。在[0, n/2+1]这个范围内可以进行二分搜索,求出n的平方根。

C++实现代码:

#include<iostream>using namespace std;class Solution {public:    int sqrt(int x) {        if(x==0||x==1)            return x;        long long mid;        long long left=1;        long long right=x/2+1;        while(left<=right)        {            mid=(left+right)/2;            if(mid*mid==x)                return mid;            else if(mid*mid<x)                left=mid+1;            else                right=mid-1;        }        return right;    }};int main(){    Solution s;    cout<<s.sqrt(2147483647)<<endl;}

注意:要将mid声明为long long,防止mid*mid溢出。

2. 牛顿迭代法 参考:http://www.cnblogs.com/AnnieKim/archive/2013/04/18/3028607.html

   为了方便理解,就先以本题为例:

   计算x2 = n的解,令f(x)=x2-n,相当于求解f(x)=0的解,如左图所示。

   首先取x0,如果x0不是解,做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线,与x轴的交点为x1

   同样的道理,如果x1不是解,做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线,与x轴的交点为x2

   以此类推。

   以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。

   判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法:

   一是直接计算f(xi)的值判断是否为0,二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。

 

经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi),其中f‘(x)为f(x)的导数,本题中为2x。令切线方程等于0,即可求出xi+1=xi - f(xi) / f‘(xi)。

继续化简,xi+1=xi - (xi- n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。

有了迭代公式,程序就好写了。关于牛顿迭代法,可以参考wikipedia以及百度百科。

int sqrt(int x) {    if (x == 0) return 0;    double last = 0;    double res = 1;    while (res != last)    {        last = res;        res = (res + x / res) / 2;    }    return int(res);}

 

Sqrt(x)