投影的数学意义

A projection is the transformation of points and lines in one plane onto another plane by connecting corresponding points on the two planes with parallel lines.

      投影的概念很简单，就是投射的影子。好比黑暗屋子有一处光，投到你伟岸的身躯，墙上必然会有影子，这个影子就是你的身体对应这面墙的投影。

      如上图, 求向量y到平面W的最短距离。对于点y，沿着平面W的法线方向（垂直于平面W），和W相交于y’，此时误差z最小，就是我们要找的答案。因为该射线是垂直于该平面(perpendicular)，因此称为正交(orthogonal)投影。现实生活中，从一大堆统计点中拟合出一条有规律的线，就需要用最小二乘法，其实就是正交投影的思路。对应的数学描述为：当W平面中Ax = y无解时，转换为Px= y的形式，使其有解。

      当然，这样做有什么好处？大家对比一下自己的身体和身影的区别，答案就是把三维的问题变成了一个二维的问题，这就是一个降维的思想，也是投影的价值。为了简化问题，限定在某一范围内，就要进行必要的降维（消元），如果因此导致问题无解，通过合适的投影矩阵P找到解。

投影的现实意义

      各种原因吧，很多时候我们都需要抽象到二维空间，方便理解，降低成本。比如，显示器明明是平的，如何带给我们“深度”的错觉；地球明明是圆的，可地图看起来是平的。

      两者的区别如上，前者采用了透视投影，眼睛认知世界也是采用该投影方式，因此，我们可以通过“平”幕感觉出深度。而后者采用正交投影，无论远近大小都一样。但两者在数学理论上并无本质区别，都是矩阵P，只是P中的元素不同罢了。

      这里主要看气质，我们并不详细给出两个投影矩阵的推导过程， 如上是透视投影的示意图，视锥体的任意一点()，求出在平面(z = -n)对应的点，就是一个相似三角形的过程。透视投影是一个点光源，而正交投影像一束平行光，但推算过程一致。

      地图投影也没有本质区别，如上，在球心处一盏灯，地球投影到这个圆柱体侧面，然后展开，形成右图的效果。

投影的硬件加速

      通过上面的介绍，虽然投影要理解的内容很多，但操作上非常简单，每个点只需要乘以投影矩阵P，就可以得到投影后的点。

      在数值计算上，这有三个特点，第一是简单，每个点的计算过程都是独立的，可封闭的，并不和其他相邻点之间有关联。其次是粗暴，矩阵运算计算量很大，最后基本都是浮点运算。

      比如动态投影，计算量巨大，特别是B/S应用，受限于客户端的计算能力，往往都是基于服务端做动态投影计算，然后将结果返回给客户端。但即使如此，对于C/S而言，动态投影的性能也是瓶颈。

      相比CPU，GPU没有逻辑单元，且浮点运算能力突出，非常适合用并行的方式来解决这类简单粗暴的计算密集型问题。

      这是一种很好的解决动态投影的方式，在性能、实时、资源消耗和兼容性上都表现出色。比如墨卡托投影转WGS，可以错误的理解为把图片1高度不变，长度拉伸2倍的过程。我们完全把投影转换的计算放到着色器中，通过GPU顶点和片元着色器实现。

      从CPU到GPU的转移，看上去很完美的，但动态投影有一个效果上的问题，毕竟是对纹理的操作，难免会有一些位置上偏移缩放等。如果用肉眼仔细看，你还是会发现不如以前的纹理清晰。

      Cesium在这个问题上有一个很精妙的办法，还是要进行动态投影的，只是转换的对象不是Texture，保证纹理信息不变，而是对Texture Coordinate进行转换。

      如下是动态投影的效果对比。当然受限于现实，目前仅支持墨卡托和WGS之间的转换，但在理论上，只要是点对点的动态投影都可以采用这种思路，当然最后还得看效果和数据易用性等问题。

谈谈我对投影的理解