组合数 C(n,m) 从n个物品中取m个的方法数

1、当n和m比较的小的时候可以使用杨辉三角对应的数直接计算

int c[N][N];
memset(c,0,sizeof(c));
int i,j;
for(i=0;i<=N;i++)
{
    c[i][0]=c[i][i]=1;
    for(j=1;j<i;j++)
        c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
}

二、当n和m比较小，mod比较大且是素数的时候，可以通过预处理逆元计算

ll inverse[N];
ll power(ll a,ll b)  //关于逆元 其实如果mod是素数 则b的逆元其实就是b^(mod-2)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll t,r=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
ll get_inverse(ll a)       //exgcd求逆元
{
    ll x,y;
    exgcd(a,mod,x,y);
    return (x%mod+mod)%mod;
}
ll fc(ll n,ll m)
{
    /*ll t1,t2;                         //数据小的话直接乘起来最后求一次逆元快
    t1=t2=1;
    for(ll i=n;i>m;i--)
    {
        t1=(t1*i)%mod;
        t2=(t2*(i-m))%mod;
    }
    return t1*get_inverse(t2)%mod;*/

    ll ans=1;                          //如果数据比较大 先预处理会用到的逆元 然后每次都乘逆元
    for(ll i=n; i>m; i--)
    {
        ans=(ans*i)%mod;
        ans=(ans*inverse[i-m])%mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    for(int i=1; i<=N; i++) inverse[i]=power(i,mod-2); //预处理逆元
    for(int i=1; i<=N; i++) inverse[i]=get_inverse(i); //预处理逆元
}

O(N) 左右吧

三、当n和m比较大，mod是素数且比较小的时候（10^5左右），通过Lucas定理计算

Lucas定理：求解C（n,m,mod）=Lucas（n,m,mod）

Lucas（n,m,mod）=C（n%mod,m%mod,mod）*Lucas（n/mod,m/mod,mod） 

当m==0时 return 1

特别注意 C（n%mod,m%mod,mod） 会出现n<m，需要return 0

ll power(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
ll fc(ll n,ll m,ll mod)  //也可以预处理所有mod的阶乘
{
    if(m>n) return 0;  //这里注意加
    ll t1,t2;
    t1=t2=1;
    for(ll i=n; i>m; i--)
    {
        t1=(t1*i)%mod;
        t2=(t2*(i-m))%mod;
    }
    return (t1*power(t2,mod-2))%mod;
}

ll lucas(ll n,ll m,ll mod)
{
    if(m==0) return 1;
    ll ans;
    ans=fc(n%mod,m%mod);
    return (ans*lucas(n/mod,m/mod,mod))%mod;
}

关于组合数求法的简单记录