2.
\[
\begin{aligned}
\int_0^{2 \pi} | \sin x-\cos x | dx = \int_0^{\pi/4} (\cos x -\sin x) dx + \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x -\cos x) dx +\int_{5\pi/4}^{2\pi }(\cos x -\sin x) dx
\\= (\sin x +\cos x) \bigg|_0^{\pi/4} - (\cos x +\sin x)\bigg|_{\pi/4}^{5\pi/4} + (\sin x +\cos x) \bigg|_{5\pi/4}^{2\pi }
=4\sqrt 2.
\end{aligned}
\]

3.
\[
\begin{aligned}
\mbox{原式}= \arctan \sqrt{\sqrt x -1} \cdot x \bigg|_1^{16}- \int_1^{16} \frac{ 1 }{ 4\sqrt{\sqrt x-1} } dx \qquad (\mbox{let } t= \sqrt{\sqrt x-1})
\\= 4\pi - \int_0^{\sqrt 3} (t^2+1) dt= \frac{16 \pi}{3} - (\frac13 t^3 +t )\bigg|_{0}^{\sqrt 3} = \frac{16 \pi}{3}-2\sqrt 3.
\end{aligned}
\]

4. 首先知道 $r=2\cos \theta$ 是圆心在 $(1,0)$ 半径为 1 的, 心形线是缺口在原点，尖点朝左的，如图.

容易计算两条曲线的交点是
\[
r=1, \theta =\frac \pi 3, \qquad r=1, \theta=\frac{5 \pi}{3}.
\]
则在圆内部而在心形线外部的部分关于实轴对称，而上面的部分可以通过圆的方程 $\theta$ 从 $0$ 变化到 $\frac \pi 3$ 对应的扇形，再减去心形线的方程 $\theta$ 从 $0$ 变化到 $\frac \pi 3$ 对应的扇形而得。由极坐标的面积公式得到
\[
S=2\left( \int_0^{\pi /3} \frac12 (2\cos \theta)^2 d\theta - \int_0^{\pi/3} \frac12 [2(1-\cos \theta )]^2 d\theta \right)
=4(\sqrt 3 -\frac \pi 3)
\]

第五章 测试题