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BZOJ 3505 [Cqoi2014]数三角形
3505: [Cqoi2014]数三角形
Description
给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。注意三角形的三点不能共线。
Input
输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。
Output
输出一个正整数，为所求三角形数量。
Sample Input
2 2
Sample Output
76
HINT
数据范围
1<=m,n<=1000
这肯定是很典型的排列组合水题。先n++，m++，再C（n*m，3），最后减去三点共线的特例。
横的，竖的，很好算，C（n，3）*m+C（m，3）。但是斜的，需要想一想。
在(a,b) (x,y)两点构成的线段上有gcd(a-x,b-y)-1个整点(a>x,b>y)，这显然成立。斜的即有两点，△x与△y均大于0，在他们之间有gcd(△x,△y)-1个整点，而这种情况有2*（n-△x）*（m-△y）种。以O（n^2）的效率减去就是了。
1 /************************************************************** 2 Problem: 3505 3 User: Doggu 4 Language: C++ 5 Result: Accepted 6 Time:660 ms 7 Memory:820 kb 8 ****************************************************************/ 9 10 #include <cstdio>11 #include <algorithm>12 long long n, m, x, ans;13 inline long long gcd(long long a,long long b) {return b==0?a:gcd(b,a%b);}14 inline long long C(long long p) {return p*(p-1)*(p-2)/6;}15 int main() {16 scanf("%lld%lld",&n,&m);n++;m++;x=std::min(n,m);17 ans=C(n*m)-C(n)*m-C(m)*n;18 for( int i = 1; i < n; i++ ) for( int j = 1; j < m; j++ ) ans-=(gcd(i,j)-1)*2*(n-i)*(m-j);19 printf("%lld\n",ans);20 return 0;21 }22
但是，居然发现，若把gcd记忆化，效率将大大提高。
1 /************************************************************** 2 Problem: 3505 3 User: Doggu 4 Language: C++ 5 Result: Accepted 6 Time:292 ms 7 Memory:8792 kb 8 ****************************************************************/ 9 10 #include <cstdio>11 #include <algorithm>12 long long n, m, x, ans, g[1010][1010];13 inline long long gcd(long long a,long long b) {if(g[a][b]) return g[a][b];return g[a][b]=b==0?a:gcd(b,a%b);}14 inline long long C(long long p) {return p*(p-1)*(p-2)/6;}15 int main() {16 scanf("%lld%lld",&n,&m);n++;m++;x=std::min(n,m);17 ans=C(n*m)-C(n)*m-C(m)*n;18 for( int i = 1; i < n; i++ ) for( int j = 1; j < m; j++ ) ans-=(gcd(i,j)-1)*2*(n-i)*(m-j);19 printf("%lld\n",ans);20 return 0;21 }22
BZOJ 3505 [Cqoi2014]数三角形
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