http://en.wikipedia.org/wiki/Norm

经常会听到p norm的说法，其实很简单，可以看成2范数的扩展，但是有一点需要注意：p的范围是[1, inf)。p在(0,1)范围内定义的并不是范数，因为违反了三角不等式（||x+y|| <= ||x|| + ||y||）。见下面wikipedia的截图

在p范数下定义的unit ball都是凸集（convex set，简单地说，若集合A中任意两点的连线段上的点也在集合A中，则A是凸集），但是当0<p<1时，在该定义下的unit ball并不是凸集（注意：我们没说在该范数定义下，因为如前所述，0<p<1时，并不是范数）.下图展示了p取不同值时unit ball的形状

当0<p<1时，上面类似p范数的定义不能对任意两点满足三角不等式，也就是说，存在两点，它们不满足三角不等式。这个论断证明起来很简单，只要找出两个这样的点就行了。

在一维空间中，按照p范数的定义，三角不等式总是成立。于是我们可以考虑在二维空间选点（因为二维空间比较简单），考虑特殊一点的，比如，取x=(0,1), y=(1,0)

||x|| = 1， ||y|| = 1，||x+y|| = 2^(1/p) > 2 == ||x|| + ||y||，这就是一个违反三角不等式的例子，证毕。

对于更高维空间都可以取类似的例子，比如三维就取(0,0,1), (0, 1, 0), (1,0,0)

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第一个图是截图后用MyPaint做的标记（红线），这是一个ubuntu(Linux)平台上类似于window画图的工具，比较轻量级，找了我好一会……

p norm