函数

在数学中，迭代函数是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代。

模型

迭代模型是RUP（RationalUnifiedProcess，统一软件开发过程，统一软件过程）推荐的周期模型。

算法

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

理解

如果认为这个解释难以理解，可以这样想：

我们开发一个产品，如果不太复杂，会采用瀑布模型，简单的说就是先定义需求，然后构建框架，然后写代码，然后测试，最后发布一个产品。

这样，几个月过去了，直到最后一天发布时，大家才能见到一个产品。

这样的方式有明显的缺点，假如我们对用户的需求判断的不是很准确时——这是很常见的问题，一点也不少见——你工作了几个月甚至是几年，当你把产品拿给客户看时，客户往往会大吃一惊，这就是我要的东西吗？

方法

迭代的方式就有所不同，假如这个产品要求6个月交货，我在第一个月就会拿出一个产品来，当然，这个产品会很不完善，会有很多功能还没有添加进去，bug很多，还不稳定，但客户看了以后，会提出更详细的修改意见，这样，你就知道自己距离客户的需求有多远，我回家以后，再花一个月，在上个月所作的需求分析、框架设计、代码、测试等等的基础上，进一步改进，又拿出一个更完善的产品来，给客户看，让他们提意见。

就这样，我的产品在功能上、质量上都能够逐渐逼近客户的要求，不会出现我花了大量心血后，直到最后发布之时才发现根本不是客户要的东西的情况。

优势

这样的方法很不错，但他也有自己的缺陷，那就是周期长、成本很高。在应付大项目、高风险项目——就比如是航天飞机的控制系统时，迭代的成本比项目失败的风险成本低得多，用这种方式明显有优势。

如果你是给自己的单位开发一个小MIS，自己也比较清楚需求，工期上也不过花上个把月的时间，用迭代就有点杀鸡用了牛刀，那还是瀑布模型更管用，即使是做得不对，顶多再花一个月重来，没什么了不起。

简介

有些国外的教材，如《C++Primer》第四版的中文版，会把iterative翻译成迭代。

在java中Iterative仅用于遍历集合，本身并不提供盛装对象的能力。如果需要创建Iterative对象，则必须有一个被迭代的集合。没有集合的Iterative仿佛无本之木，没有存在的价值。iterative是反复的意思，所以，有时候，迭代也会指循环执行，反复执行的意思。

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

建立关系式

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

过程控制

在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

例1：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，问到第12个月时，该饲养场共有兔子多少只?

分析：这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第1个月时兔子的只数为u1，第2个月时兔子的只数为u2，第3个月时兔子的只数为u3，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有

以下是引用片段：

u1=1，u2=u1+u1×1=2，u3=u2+u2×1=4，……

根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：

以下是引用片段：

un=(un-1）×2(n≥2）*①

对应un和un-1，定义两个迭代变量y和x，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：

以下是引用片段：

y=x*2

x=y

让计算机对这个迭代关系重复执行11次，就可以算出第12个月时的兔子数。参考程序如下：

以下是引用片段：

cls

x=1

fori=2to12

y=x*2

x=y

nexti

printy

end

例2：阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用3分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内，45分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴220个。试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴?请编程序算出。

分析：根据题意，阿米巴每3分钟分裂一次，那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面，到45分钟后充满容器，需要分裂45/3=15次。而“容器最多可以装阿米巴220个”，即阿米巴分裂15次以后得到的个数是220。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数，不妨使用倒推的方法，从第15次分裂之后的220个，倒推出第15次分裂之前（即第14次分裂之后）的个数，再进一步倒推出第13次分裂之后、第12次分裂之后、……第1次分裂之前的个数。

设第1次分裂之前的个数为x0、第1次分裂之后的个数为x1、第2次分裂之后的个数为x2、……第15次分裂之后的个数为x15，则有

以下是引用片段：

x14=x15/2、x13=x14/2、……xn-1=xn/2(n≥1）

因为第15次分裂之后的个数x15是已知的，如果定义迭代变量为x，则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式：

x=x/2(x的初值为第15次分裂之后的个数220）

让这个迭代公式重复执行15次，就可以倒推出第1次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值，我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下：

以下是引用片段：

cls

x=2^20

fori=1to15

x=x/2

nexti

printx

end

例3：验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：对于任意一个自然数n，若n为偶数，则将其除以2；若n为奇数，则将其乘以3，然后再加1。如此经过有限次运算后，总可以得到自然数1。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。

要求：编写一个程序，由键盘输入一个自然数n，把n经过有限次运算后，最终变成自然数1的全过程打印出来。

分析：定义迭代变量为n，按照谷角猜想的内容，可以得到两种情况下的迭代关系式：当n为偶数时，n=n/2；当n为奇数时，n=n*3+1。用QBASIC语言把它描述出来就是：

以下是引用片段：

ifn为偶数then

n=n/2

else

n=n*3+1

endif

这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次，才能使迭代变量n最终变成自然数1，这是我们无法计算出来的。因此，还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求，不难看出，对任意给定的一个自然数n，只要经过有限次运算后，能够得到自然数1，就已经完成了验证工作。因此，用来结束迭代过程的条件可以定义为：n=1。参考程序如下：

以下是引用片段：

cls

input"Pleaseinputn=";n

dountiln=1

ifnmod2=0then

rem如果n为偶数，则调用迭代公式n=n/2

n=n/2

print"—";n;

else

n=n*3+1

print"—";n;

endif

loop

end

迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x），然后按以下步骤执行：

⑴选一个方程的近似根，赋给变量x0;

⑵将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1），并将结果存于变量x0;

⑶当x0与x1的差的绝对值还大于指定的精度要求时，重复步骤⑵的计算。

若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为：

【算法】迭代法求方程的根

以下是引用片段：

{x0=初始近似根；

do{

x1=x0;

x0=g(x1）；/*按特定的方程计算新的近似根*/

}while(fabs(x0-x1）>Epsilon);

printf（“方程的近似根是%f\n”，x0);

}

迭代算法也常用于求方程组的根，令

X=(x0，x1，…，xn-1）

设方程组为：

xi=gi(X)(I=0，1，…，n-1）

则求方程组根的迭代算法可描述如下：

【算法】迭代法求方程组的根

以下是引用片段：

{for(i=0;i

x=初始近似根；

do{

for(i=0;i

y=x;

for(i=0;i

x=gi(X);

for(delta=0.0,i=0;i

if(fabs(y-x)>delta)delta=fabs(y-x);

}while(delta>Epsilon);

for(i=0;i

printf（“变量x[%d]的近似根是%f”，I，x);

printf（“\n”）；

}

具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：

⑴如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；

⑵方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。

①N为兔子的个数，M为月份（N+N*1）^M-1=2N^M-1（注解）