A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start‘ in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish‘ in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

思路分析：这题开始想到用DFS 搜索来做，一般搜索从S到F的路径一边count路径的数量，但是算法时间复杂度太高，用DFS算法时间复杂度为O（2^(m+n)），是指数级复杂度。其实，这题可以用DP得到更快的算法，具体而言，定义m*n维二维数组dp[][],dp[i][j]表示从s出发到达格子(i,j)的路径数目，现在我们可以思考如果写dp方程。通过观察网格特征和走法，我们可以分析得知，到达（i,j）只有两种走法，第一是从（i-1,j）向下到(i,j)，第二是从（i,j-1）向右到（i,j），而dp[i][j-1]和dp[i-1][j]是已经保存的中间计算结果，所以可以得到dp递推方程为dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j]。所以可以从(0,0)开始不断计算到右侧和下方的格子的路径总数，直到算出dp[m-1][n-1]，算法时间复杂度为O（mn），空间复杂度也为O（mn）。其实还可以进一步节省空间，因为计算dp[i][j]时只需要知道相邻左侧一列或者上面一行的计算结果，因此我们只需要定义一个数组row或者col（取决于m和n哪个更小），然后也可以不断推算出dp[m-1][n-1].

AC Code

public class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        //dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        int [][] dp = new int[m][n];
        for(int i = 0; i < m; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int j = 0; j < n; j++){
            dp[0][j] = 1;
        }
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j< n; j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

LeetCode Unique Paths