网络流的背景我就不多说了，就是在一个有向图中找出最大的流量，有意思的是，该问题的对偶问题为最小割，找到一种切分，使得图的两边的流通量最小，而且通常对偶问题是原问题的一个下界，但最小割正好等于最大流，即切割的边就是最大流中各个path饱和边的一个组合。说得可能比较含糊，这里想要了解清楚还是查阅相关资料吧。

最大流最原始最经典的解法就是FF算法，算法复杂度为O(mC)，C为边的容量的总和，m为边数。而今天讲的Push-relabel算法是90年代提出的高效算法，复杂度为O(n^3)，其实网络流最关键的步骤就是添加反向边，得出剩余图。而其他的改进就是为了在寻找增广路径时尽可能贪心，流量尽可能大。

好了，开始讲Push-relabel的主要思想，首先构造一个函数excess，代表每个节点保存的流量，就是等于该节点的入流量-出流量，正常来说，s的保存流量为负，t的保存流量为正，其他节点的保存流量均为0，而算法的最终目标就是这个，此外还定义一个height函数（h），表示每个节点的高度。然后，初始化过程是，h(s)=n，h(v)=0，对于所有不为s的节点，f(s, u)=c(s, u)，对于所有从s出发的边都默认饱和，这是上界。接着，就是Push-relabel的过程了，首先遍历图中所有节点，如果存在非t的且excess大于0的节点v，则查看v出发的所有边（v, w），如果h(v)>h(w)，则可以将label，即excess的流量，传递给w，如果该边为正向边，传的大小为bottleneck=min{excess(v), c(v,w) - f(v, w)}，否则bottleneck=min{excess(v), f(v, w)}，传完之后，继续寻找excess大于0的节点，注意，如果v有边，但所有边都是h(v)<h(w)，则将v的高度提升1，继续寻找。

源代码如下：

注意图的输入格式需满足DIMACS格式。

__author__ = 'xanxus'
nodeNum, edgeNum = 0, 0
arcs = []


class Arc(object):
    def __init__(self):
        self.src = http://www.mamicode.com/-1>
希望对大家有所帮助。


网络流算法Push-relabel的Python实现