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HDU 1024 Max Sum Plus Plus【动态规划求最大M子段和详解 】

Max Sum Plus Plus

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 29942    Accepted Submission(s): 10516


Problem Description
Now I think you have got an AC in Ignatius.L‘s "Max Sum" problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.

Given a consecutive number sequence S1, S2, S3, S4 ... Sx, ... Sn (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ Sx ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = Si + ... + Sj (1 ≤ i ≤ j ≤ n).

Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i1, j1) + sum(i2, j2) + sum(i3, j3) + ... + sum(im, jm) maximal (ix ≤ iy ≤ jx or ix ≤ jy ≤ jx is not allowed).

But I`m lazy, I don‘t want to write a special-judge module, so you don‘t have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(ix, jx)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^
 

 

Input
Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S1, S2, S3 ... Sn.
Process to the end of file.
 

 

Output
Output the maximal summation described above in one line.
 

 

Sample Input
1 3 1 2 32 6 -1 4 -2 3 -2 3

 

Sample Output
6
8
Hint
Huge input, scanf and dynamic programming is recommended.
 

 

Author
JGShining(极光炫影)
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

【问题描述】----最大M子段和问题
给定由 n个整数(可能为负整数)组成的序列a1,a2,a3,……,an,以及一个正整数 m,要求确定序列 a1,a2,a3,……,an的 m个不相交子段,
使这m个子段的总和达到最大,求出最大和。

题解:转自http://www.cnblogs.com/peng-come-on/archive/2012/01/15/2322715.html
动态规划的思想。
1.基本思路:
  首先,定义数组num[n],dp[m][n].
  num[n]用来存储n个整数组成的序列.
  dp[i][j]用来表示由前 j项得到的含i个字段的最大值,且最后一个字段以num[j]项结尾。仔细想想,我们可以知道:
  dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+num[j],dp(i-1,t)+num[j])   其中i-1<=t<=j-1.
  (因为必须是以 num[j] 结尾的,所以num[j]一定属于最后一个子段,即要么自己独立成一个子段,要么与前边以num[j-1]结尾的子段联合)
  所求的最后结果为 max( dp[m][j] ) 其中1<=j<=n.
  但是,我们会发现,当n非常大时,这个算法的时间复杂度和空间复杂度是非常高的,时间复杂度近似为O(m*n^2),
  空间复杂度近似为O(m*n).因此,我们需要优化算法来降低时间复杂度和空间复杂度.
2.优化算法:
  (1)节省时间
  由基本思路,我们可以知道,dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+num[j],dp(i-1,t)+num[j]),其中i-1<=t<=j-1.我们只要找到dp[i][j-1]
  和dp[i-1][t]的最大值加上num[j]即为dp[i][j].所以,定义一个数组pre_max[n],用pre_max[j-1]来表示求解dp[i][j]时dp[i-1][t]
  的最大值,则dp[i][j]=max(pre_max[j-1],dp[i][j-1])+num[j].
  特别注意,pre_max[n]这个位置的存储空间是始终用不到的,因此可以用来存储其他数值,在接下来会用到。
  在求解dp[i][j]的同时,我们可以计算出dp[i][t];i<=t<=j的最大值,这个最大值在计算dp[i+1][j+1]的时候需要作为pre_max[j]的
  形式被使用,我们先把它存在pre_max[n]中。
  你可能会问:为什么不把它直接放在pre_max[j]中呢?因为你接下来需要计算dp[i][j+1]的值,需要用到pre_max[j]中原来的值,
  如果你把它存在这里,就会覆盖掉计算dp[i][j+1]所需要的那个值。所以,先把它放在pre_max[n]中。
  当我们计算完dp[i][j+1]之后,就会发现pre_max[j]中的值已经没有用处了,我们可以把它更新为计算dp[i+1][j+1]所需要的那个值,
  即之前放在pre_max[n]中的那个值,即执行pre_max[j]=pre_max[n].
  这样我们就节省了计算最大值时付出的时间代价。
  (2)节省空间
  通过时间的节省,我们突然间发现程序执行结束后pre_max[n]的值即为最后的结果,pre_max[n]数组才是我们希望求解的,
  dp[m][n]这个庞大的数组已经不是那么重要了,因此,我们现在用整型数tmp来代替dp[m][n],用来临时存储dp[i][j]的值,
  作为求解pre_max[n]的中介。
  这样就节省了dp[i][j]占用的极大的空间.

代码一:

 

 1 #include <cstdio> 2 #include <iostream> 3 const int MAX = 1000005; 4  5 using namespace std; 6  7 int num[MAX], pre_max[MAX];  8  9 inline int max(int a, int b)10 {11     return a > b ? a : b;12 }13 14 int DP(int n, int m)15 {16     for(int i = 1; i <= m; ++i)17     {18         /*****初始化*****/ 19         int tmp = 0;20         for(int k = 1; k <= i; ++k)21             tmp += num[k];22         pre_max[n] = tmp;23         24         for(int j = i+1; j <= n; ++j)25         {26             tmp = max(pre_max[j-1], tmp) + num[j];27             pre_max[j-1] = pre_max[n];28             pre_max[n] = max(pre_max[n], tmp);         29         }30     }31     return pre_max[n];32 }33 34 int main()35 {36     int n, m;37     while(~scanf("%d%d", &m, &n))38     {39         for(int i = 1; i <= n; ++i)40         {41             scanf("%d", &num[i]);42             pre_max[i] = 0;   43         }44         printf("%d\n", DP(n, m));45     }46     return 0;47 }

 

 代码二:(讨论区粘的)

 1 #include<iostream> 2 #include<climits> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdio> 5 #include<cstdlib> 6 using namespace std; 7 int max(int *a,int m,int n) 8 { 9     int *c;10     int *p;11     int max, i, j;12     c=new int[n+1];13     p=new int[n+1];14     for(i=0; i<n+1; i++)15         p[i]=0;16     c[0]=0;17     for(i=1; i<=m; ++i)18     {19         max=INT_MIN;20         for(j = i; j <= n; ++j)21         {22             if(c[j-1]< p[j-1])23                 c[j]= p[j-1]+a[j-1];24             else25                 c[j]=c[j-1]+a[j-1];26             p[j-1]=max;27             if(max<c[j])28                 max=c[j];29         }30         p[j-1]=max;31     }32     delete []p;33     delete []c;34     return max;35 }36 int main()37 {38     int n,m,i,*d;39     while(cin>>m>>n)40     {41         d=new int[n];42         for(i=0;i<n;++i)43             cin>>d[i];44         cout<<max(d, m, n)<<endl;45         delete [] d;46     }47     return 0;48 }
思路:
dp[i][j]表示前j个元素分成i段的最优解,同时这个最优解是由a[j]元素结束的。
转移方程是dp[i][j]=max{f[i][j-1]+a[j],f[i-1][k]+a[j],(i-1<=k<j)} (i<=j<=n-m+i)
其中j的上下界的确定比较麻烦。现在分别解释上界和下界:
上界:dp[i][j]中,如果j=i-1,意思就是在前面i-1个元素中分成i段,这个是不可能实现的。
下界:如果m=n=4,这时dp[2][4]求出来了,意思是前面的四个元素分成了两段,当是还有两段要分,
      所以求出这个是没有意义的。当然求出来也不会影响结果,只是这样时间复杂度就提高了。
这是其中一个特例的状态转移表 m=4,n=6 ,-1 4 -2 3 -2 3
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没有填的说明不用算。
很显然dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+a[i],
所以对角线上面有:
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现在演示一下转移过程。如何求下图的框中的元素的值
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由下面涂色的元素的最大值加上a[3]=-2求的如下图
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最大的是4,所以4+(-2)=2;框中填2;
假如框中的元素是dp[i][j],画圈的元素表示的是,左边那个是dp[i][j-1],上面的几个是dp[i-1][k](i-1<=k<j)},这个就是上面的转移方程的表格表示法。
 
 
其他细节如果理解上面的内容,就可以优化了
 1 #include<stdio.h> 2 __int64 dp[2][1000001]; 3 __int64 a[1000001]; 4 __int64 b[1000001]; 5 __int64 res; 6 int n,m; 7 __int64 Max(__int64 x,__int64 y) 8 { 9     if(x>y)return x;10     else   return y;11 }12 int main()13 {14    15 //    freopen("a.txt","r",stdin);16     while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)17     {18         int t=1;19         res=0;20         int i,j,k;21         for(i=1;i<=n;i++){b[i]=0;dp[0][i]=dp[1][i]=0;scanf("%I64d",&a[i]);}22         for(i=1;i<=m;i++)23         {24             dp[t][i]=dp[1-t][i-1]+a[i];25             __int64 max=dp[1-t][i-1];26             for(j=i+1;j<=n-m+i;j++)27             {28                 max=Max(max,dp[1-t][j-1]);29                 dp[t][j]=Max(dp[t][j-1],max)+a[j];30             }31             t=1-t;32         }33         t=1-t;34         res=-1111111111111;35         for(j=m;j<=n;j++)if(res<dp[t][j])res=dp[t][j];36         printf("%I64d\n",res);37     }38 39     return 0;40 }

下面给出详解代码:

  1     #include<iostream>    2     #include<cstdio>    3     using namespace std;    4     const int MAX=1000001;    5     int dp[2][MAX];    6     int w[MAX];    7     int sum[MAX];//不做不知道,一做吓一跳,原来在主函数里开个sum[MAX],是不行的,因为MAX是在太大!    8         9     /*这是我的老师贴出的提示!现在才理解到内涵!  10       11     VC定义数组时请注意大小!定义时,局部数组大小<=1MB,全局数组<=2GB,定义时如果超过这个限制将会出现如"segment error"之类的错误.以下的程序可以帮助你证明这一点.  12       13     以下程序数组如果再大点,运行出错,说明局部变量分配内存<=1MB  14     #include<stdio.h>  15     int main()  16     {  17     int a[1024*1024/4-4000];  18     int i;  19     for(i=0;i<1024*1024/4-4000;i++)  20     {  21     a[i]=i;  22     printf("%d\n",a[i]);  23     }  24     return 0;  25     }   26       27     以下程序数组如果再大点,运行出错,说明全局变量分配内存<=2GB  28     #include<stdio.h>  29     int a[1024*1024*470];  30     int main()  31     {  32     long int i;  33     for(i=0;i<1024*1024*470;i++)  34     {  35     a[i]=i;  36     printf("%d\n",a[i]);  37     }  38     return 0;  39     }  40       41       42     内存的三种分配方式:静态存储区分配,栈上分配,堆上分配。 全局数组是在静态存储区分配,而局部数组是在栈上分配,所以大小受到的限制不一样.  43     */   44        45     int cmax(int a,int b)//求最大值   46     {   47         return a>b?a:b;   48     }   49        50     int main()   51     {   52         int i,k;   53         int m,n;   54            55         while(scanf("%d%d",&m,&n)>0)   56         {   57             sum[0]=0;   58             for(i=1;i<=n;i++)   59             {   60                 cin>>k;   61                 sum[i]=sum[i-1]+k;//sum[i]里存的是前i个元素的和   62                 dp[0][i]=0;//从前i个元素中取0段,最大值为0   63             }   64     //我们假设a[i]中存放该序列第i个值,w[i][k]表示前k个数分为i段,第k个数必须选这种情况下取得的最大值   65     //b[i][k]表示在前k个数中取i段这种情况下取得的最大值   66        67     //w[i][k]:前k个数分为i段,第k个数必须选;1:第k个数单独为1段;2:第k个数与前面的数连一块。w[i][k]=max(b[i-1][k-1],w[i][k-1])+a[k];   68     //b[i][k]:前k个数分为i段,第k个数可选可不选;1:选第k个数,2:不选第k个数。b[i][k]=max(b[i][k-1],w[i][k])   69     //w[i][k]=max(b[i-1][k-1],w[i][k-1])+a[k];   70     //b[i][k]=max(b[i][k-1],w[i][k]);   71     //w[i][k],b[i][i]容易求得,所以由b[i-1][k-1]->w[i][k]->b[i][k],只要知道b[0][k],全部都能成功运行!   72        73     //当从k个元素中取j段,可以分为两种情况,即第k个元素可以取,也可以不取,取,那么a[k]要么是单独为一段b[i-1][k-1]+a[k];   74     //要么是第k个数与前面的数连一块,即w[i][k-1]+a[k],故w[i][k]=max(b[i-1][k-1],w[i][k-1])+a[k];   75        76     //要么不取 即b[i][k]=b[i][k-1];   77     //综合起来,b[i][k]=max(b[i][k-1],w[i][k]);   78            int t=1;   79            for(i=1;i<=m;i++)//i表示在取i段,自然i<=m;   80            {   81                   82                for(k=i;k<=n;k++)//为什么k从i开始?dp[i][k](k<i)是没有意义的!   83                {   84                    if(i==k)   85                    dp[t][k]=w[k]=sum[k];//从k个数中取k段的最大值是前k个数的和   86                    else   87                    {   88                        w[k]=cmax(dp[1-t][k-1],w[k-1])+sum[k]-sum[k-1];//w[k]表示k个元素取i段,a[k]必须取时的最大值   89             //w[i][k]=max(b[i-1][k-1],w[i][k-1])+a[k];   90                        dp[t][k]=cmax(dp[t][k-1],w[k]);//dp[t][k]表示在a[k]可取可不取这两种情况下取得的最大值   91                        //自然,dp[t][k]记录的就是在前k个元素中取i段时取得的最大值!   92                    }   93                }   94                t=1-t;//t在1,0之间交替变换   95       //为什么要交替呢?这是为了节省空间   96       //仔细观察递归式   97       //w[i][k]=max(b[i-1][k-1],w[i][k-1])+a[k];   98       //b[i][k]=max(b[i][k-1],w[i][k]);   99       //我们发现,对于取i段,w[i][j]只与b[i-1][k-1]和w[i][k-1]有关,与之前的那一些项没有关系  100       //因此我们数组可以开小一点,用更新来覆盖掉前面的值!  101            }  102            cout<<dp[m%2][n]<<endl;//奇次轮还是偶次轮  103       104         }  105         system("pause");  106         return 0;  107     }  

 

 

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