常见的位操作实现

1. 常用的一个等式：-n = ~(n - 1) = ~n + 1

2. 获取整数的二进制的最右边的1：n & (-n) 或 n & ~(n - 1)。例如 n = 010100， -n = 101100，那么n & (-n) = 000100

3. 去除整数的二进制的最右边的1：n & (n - 1)。例如 n = 010100，n-1 = 010011，n&(n-1) = 010000

加法操作

实现加法操作使用”异或“和”与“来实现。对应位的异或操作可以得到该位的值，对应位的与操作可以产生该位对高位的进位值。

//加法
int BinaryAdd(int a, int b) {
	int carry, add;
	do {
		add = a ^ b; //该操作得到本位的加法结果
		carry = (a & b) << 1; //该操作得到该位对高位的进位值
		a = add;
		b = carry;
	} while (carry != 0); //循环直到某次运算没有进位，运算结束
	return add;
}

减法操作

减法操作可以用加法操作来实现。例如 a - b = a + (-b) = a + (~b + 1)

//减法
int BinarySub(int a, int b) {
	return BinaryAdd(a, BinaryAdd(~b, 1));
}

乘法操作

二进制的乘法与十进制原理类似：都是将乘数的每一位和被乘数的每一位依次相乘，然后将相乘的结果相加即可。

例如：

        可以看出，乘法过程：如果乘数b的第i（i >= 1；i = 1是乘数最右侧的那一位）位为1，那么该位与被乘数a相乘的结果S[i]就是(a << i)；然后将这些所有的结果S[i]相加即为最后结果。

/*乘法
该过程中的bit_map是为了快速得到乘法过程中某位相乘的中间结果S[i]
需要位移的位数。bit_map的键值是2^0, 2^1,2^2, ……之类的数，对应的
值是0，1,2,……(即需要位移的位数)。
*/
int BinaryMultiply(int a, int b) {
	bool neg = (b < 0);
	if(b < 0)
		b = -b;
	int sum = 0;
	map<int, int> bit_map;
	for(int i = 0; i < 32; i++) {
		bit_map.insert(pair<int, int>(1 << i, i));
	}

	while(b > 0) {
		/*
		b & ~(b - 1)可以得到乘数b的二进制表示中最右侧1的位置
		last_bit记录被乘数a需要位移的位数
		*/
		int last_bit = bit_map[b & ~(b - 1)];
		//将得到的乘法结果全部相加即为最后结果
		sum += (a << last_bit);
		b &= b - 1; //每次将b的二进制表示的最右侧1去掉用于下一次乘法
	}
	if(neg)
		sum = -sum;
	return sum;
}

除法操作

例如：求101011除以11：

在上图的除法过程中：

（1）第一次除法先找到除数应该左移的位数，使得除数是不大于除数的数，上图中将除数左移了三位（11<< 3 = 11000），变为11000；然后本次除法结果为(1 << 3)；被除数变为了原来的被除数101011 减去当前的除数11000：10011，该被除数就是下一次除法的被除数。

（2）第二次除法的被除数为10011，此次的除数为上一次除法右移一位，即(原始除数11左移两位：11<<2 = 1100)；本次除法结果为(1<<2)；被除数变为10011 - 1100 = 111，这作为下一次除法的被除数。

（3）第三次除法的被除数变为111，除数是上一次除法右移一位，也就是初始除数11左移一位(11<< 1 = 110)；本次除法结果为(1<<1)；被除数为111 - 110  = 1；

（4）乘法结束。商为(1 << 3 + 1 << 2 + 1 << 1)   = 1000 + 100 + 10 = 1110 = 14。

代码如下：

//除法
int BinaryDivide(int a, int b){
	bool neg = (a > 0) ^ (b > 0);
	if(a < 0)
		a = -a;
	if(b < 0)
		b = -b;
	if(a < b)
		return 0;
	int msb = 0;
	//msd记录除数需要左移的位数
	for(msb = 0; msb < 32; msb++) {
		if((b << msb) >= a)
			break;
	}
	int q = 0; //记录每次除法的商
	for(int i = msb; i >= 0; i--) {
		if((b << i) > a)
			continue;
		q |= (1 << i);
		a -= (b << i);
	}
	if(neg)
		return -q;
	return q;
}

测试

int main() {
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << "和: " << BinaryAdd(a, b) << endl;
	cout << "差: " << BinarySub(a, b) << endl;
	cout << "积: " << BinaryMultiply(a, b) << endl;
	cout << "商: " << BinaryDivide(a, b) << endl;
}

位操作实现加减乘除四则运算