https://oj.leetcode.com/problems/gas-station/

There are N gas stations along a circular route, where the amount of gas at station i is gas[i].

You have a car with an unlimited gas tank and it costs cost[i] of gas to travel from station i to its next station (i+1). You begin the journey with an empty tank at one of the gas stations.

Return the starting gas station‘s index if you can travel around the circuit once, otherwise return -1.

Note:
The solution is guaranteed to be unique.

解题思路：

两个结论：1.如果gas的总和<cost的总和，是车无论从哪一点出发，都无法走过全程。2.假设车从i出发，j是第一个无法到达的点，则从i-j间的任意点出发，都无法抵达j。（为什么？）

i无法抵达j，即gas[i-j]的总和 - cost[i-j-i]的总和<0。考虑从i+1出发，因为j是第一个无法到达的店，所以i是可以到达i+1的，所以gas[i]>=cost[i]，所以总数减去这个正数，更加为负，所以i+1更加无法到达。同样，考虑i+2出发，因为i可以到达i+2，所以gas[i]+gas[i+1]>=cost[i]+cost[i+1]，同样整体减去这个正数，更加为负数，以此类推，得到证明。

但是必须注意，这个结论反之不成立。即，从i出发可以到达j，那么i-j之间的点，不见得都能到j。

第一个结论可以用来判断什么时候return -1。第二个结论用来写程序。

两层循环，外层i表示出发点，j用来走，长度为length。如果小于零，则i直接跳到j+1。所以实际上的时间复杂度接近O(n)。

public class Solution {    public int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) {        for (int i = 0; i < gas.length; ){            //int start = i;            int sum = 0;            int success = 1;            for(int j = 0; j < gas.length; j++){                sum += gas[(i + j) % gas.length] - cost[(i + j) % gas.length];                if(sum < 0){                    success = 0;                    i = i + j + 1;                    break;                }            }            if(success == 1){                return i;            }        }        return -1;    }}

定义：

diff[i] = gas[i] – cost[i]  0<=i <n 

sum[i,j] = ∑diff[k] where i<=k<j 

再改进，上面的算法中，从i出发，到n-1，然后套圈（overlap），从0到i-1。这里，套圈计算从0到i-1是没有必要的（为什么？）。

要证明这个，我们无非是要证明，仅仅计算sum[i, n]>=0是无效的。有可能sum[i, n]>=0，然而sum[i, n] + sum[0, k] < 0，这里0<k<i。即i出发能到n，却回不到i，在k点就终止了。真正的点是后面的一个j，i<j<n作为起点，有sum[j, n]>=0，也能绕一圈回到j。这是不可能的，事实上j也到不了k（如何证明？）。

假设从i出发，第一个到不了的点为k，这里0<k<i - 1。那么根据结论2，把i到n-1到0到k想象成一个线段，j在i到k之间，j更加到不了k了。所以这样的j点不存在。

从i出发不能套圈回到i，则意味着sum[i, n] + sum[0, i] < 0。考虑从i出发，那么意味着sum[0, i]<0，为什么？根据第二个结论显而易见。这里对于一个>i的j，由于i可以到j，所以sum[i,j]>=0。上述不等式可以改为sum[i, j] + sum[j, n] + sum[0, i] <0。考虑从j出发，去掉前面的sum[i,j]>=0，不等式更加小于0了。所以j出发根本不可能绕一圈。得证。

上面引用的证明是错误的，为什么？因为i出发无法绕圈回到i，并不意味着sum[i, j] + sum[j, n] + sum[0, i] <0，这是整体都无解的条件，真正无法达到的点可能是任意一个k。

这是一个简单却要想一想的结论，即因为有唯一解，从i出发，可以走到n，他就一定能回到i。因为i后的j点，更加不可能走到n，也能回到j。如果i不可以，则因该return -1，无解。

从而考虑将套圈的过程省去，就免去了内循环。不断的计算sum[i,j] ，一旦<0，从新的起点i+1开始计算。到n-1结束。不要套圈，免去了第二个控制n长度的游标。

public class Solution {    public int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) {        int start = 0;        int sum = 0;        int sumGas = 0;        int sumCost = 0;        for (int i = 0; i < gas.length; i++){            sumGas += gas[i];            sumCost += cost[i];            sum += gas[i] - cost[i];            if(sum < 0){                sum = 0;                start = i + 1;            }        }        if(sumGas < sumCost){            return -1;        }else{            return start;        }    }}

再次思考，上述结论实际是一个非常简单的结论。由于有唯一解，假设解为i。那么从i前任意点k都是无法无法到达i的，即sum[k,i-1] (0<=k<i-1) 肯定是小于0的，否则k出发也可以。而且i后面的任意点k，sum[i,k]>0 (i<=k<n-1)，否则i都到不了k。 

这个题目其实很神奇，将diff[i]看作一个array，它还类似于一个maxlength subarray，即求最长子字符串的问题，可以用动态规划的方法求解。其实就是在0到n之间，找到第一个以n结尾的>=的连续子序列。这里dp的模型是始终以n结束，遍历开头。 而maxlength subarray的每个dp的模型是遍历结尾。

Gas Station