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[C++]LeetCode: 96 Maximum Product Subarray(动态规划)
Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest product.
For example, given the array [2,3,-2,4]
,
the contiguous subarray [2,3]
has the largest product = 6
.
思路:
这道题和Maximum Subarray解法类似,维护两个变量来动态规划,一个局部最优,一个全局最优。第i步的局部最优,表示的是必须包含A[i-1](当前元素)的局部最优解,全局最优是到当前元素为止的最优值。讨论动态规划的递推式,假设我们已知第i步的global[i]和local[i],第i+1步的表达式:local[i+1] = max(A[i], local[i]+A[i]), 局部最优必须包含当前元素,所以是上一步的局部最优(包含上一个数组元素)local[i]+当前元素A[i](local[i] 包含第i个元素,A[i]是第i+1个元素,这样计算是符合题设的),如果local[i]是负值,则加上它无法保证当前局部最优,所以取A[i]. global[i+1] = max(global[i], local[i+1]). 有了当前一步的局部最优,那全局最优就是当前的局部最优或者还是原来的全局最优(全局最优始终维护着所有解的最优解,包含所有情况,如果最优解不包含当前元素,那么前面会被维护在全局最优解里,如果包含当前元素,此时的解就是局部最优)
根据以上的分析,我们可以得到 Maximum Subarray的AC Code:
class Solution { public: int maxSubArray(int A[], int n) { if(n == 0) return 0; int local = A[0]; int global = A[0]; for(int i = 1; i < n; i++) { local = max(local + A[i], A[i]); global = max(global, local); } return global; } };
现在我们来分析下这道题,这道题模型和思路都和上道题很类似 ,还是用一维动态规划中的“局部最优和全局最优法“。不同的是,我们需要考虑乘法的特性,只是维护一个局部最优不足以得到后面的全局最优。因为乘法和加法不同,累加结果只要是正就一定递增,乘法可能上一个结果为负值,后面再出现(不需要相邻)另外一个负数相乘就会得到更大的乘积(负负为正)。所以我们这里需要维护三个变量,局部最大,局部最小,全局最大。局部最大的定义,维护从0~k,包含当前元素的局部最大(一定包含k)。
f(k) = Largest product subarray, from index 0 up to k.
接下来,我们来看下递推公式:假设我们得到了第i 步的当前的局部最大maxlocal[i], 局部最小minlocal[i], 全局最大global[i]. 则第i+1步的局部最大maxlocal[i+1] = max( A[i], maxlocal[i] * A[i], minlocal[i] * A[i]), minlocal[i+1] = min(A[i], maxlocal[i] *A[i], minlocal[i]*A[i]), global[i+1] = max(maxlocal, global); 得到了递推公式,接下来我们就可以敲代码了。这道题是个不错的面试题目,上道题比较常见,这道题模型相似,又有新的考点。还能考察动态规划,需要我们面对具体的问题,仔细分析和思考,彻底理解了方法,才能做到举一而反三。
Attention:
1. 注意此题中是乘法,需要考虑乘法的特性,需要多维护一个变量minlocal.
2. 注意我们动态规划时,求解minlocal[i+1]时使用的时上一个maxlocal[i], 所以需要在局部最优更新前,先保存maxlocal[i]
int maxcopy = maxlocal; maxlocal = max(max(maxlocal*A[i], A[i]), minlocal*A[i]); minlocal = min(min(maxcopy*A[i], A[i]), minlocal*A[i]); global = max(maxlocal, global);
3. 特殊情况,不能忘记,假如数组没有元素,返回0.
4. max 和min函数的参数是两个值,只能两个值作比较,所以要两次调用函数。
maxlocal = max(max(maxlocal*A[i], A[i]), minlocal*A[i]); minlocal = min(min(maxcopy*A[i], A[i]), minlocal*A[i]);
复杂度:O(n)
AC Code:class Solution { public: int maxProduct(int A[], int n) { if(n == 0) return 0; if(n == 1) return A[0]; int maxlocal = A[0]; int minlocal = A[0]; int global = A[0]; for(int i = 1; i < n; i++) { int maxcopy = maxlocal; maxlocal = max(max(maxlocal*A[i], A[i]), minlocal*A[i]); minlocal = min(min(maxcopy*A[i], A[i]), minlocal*A[i]); global = max(maxlocal, global); } return global; } };
[C++]LeetCode: 96 Maximum Product Subarray(动态规划)