巧用“捆绑”、“插空”、“分组”法解决排列组合题目

在求解排列组合问题时，经常遇到有关几个元素必须相邻、几个元素互不相邻、将ｎ个元素分成ｍ组的问题。现将此类问题的解法通过例题介绍如下。
　　例１ 由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数。(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数。
　　　　解 (1)：因为三个偶数２、４、６必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步：第一步将１、３、５、７四个数字排好有P(4,4)种不同的排法；
　　　　　　　　第二步将２、４、６三个数字“捆绑”在一起有P(3,3) 种不同的“捆绑”方法; 第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有P(1,5)种不同的“插入”方法。根据乘法原理共有P(4,4)*P(3,3)*P(5,1)=720种不同的排法。所以共有720个符合条件的七位数。
　　　　解（2）：因为三个偶数２、４、６ 互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：第一步将１、３、５、７四个数字排好，有P(4,4) 种不同的排法；
　　　　　　　　第二步将２、４、６分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个位置）中的三个位置上，有P(3,5) 种“插入”方法。根据乘法原理共有P(4,4)*P(3,5)＝1440种不同的排法。所以共有1440个符合条件的七位数。
　　例２ 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？
　　　　解：要将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，可以分为三类办法：（１－１－４）分法、（１－２－３）分法、（２－２－２）分法。下面分别计算每一类的方法数：
　　　　　　　　第一类（１－１－４）分法，这是一类整体不等分局部等分的问题，可以采用两种解法。解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为一个组，有C(4,6)种不同的分法。
　　　　解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有C(1,6) 种选法，再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有C(1,5) 种选法，最后余下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以P(2,2)。所以共有C(1,6)*C(1,5)/P(2,2) ＝15种不同的分组方法。
　　　　　　　　第二类（１－２－３）分法，这是一类整体和局部均不等分的问题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有C(1,6) 种不同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有C(2,5) 种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有C(1,6)*C(2,5)＝60种不同的分组方法。
　　　　　　　　第三类（２－２－２）分法，这是一类整体“等分”的问题，首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有C(2,6) 种不同的取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有C(2,4)种不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组。由于三组等分存在先后选取的不同的顺序，所以应除以P(3,3) ，因此共有C(2,6)*C(2,4)/P(3,3) ＝15种不同的分组方法。
根据加法原理，将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个元素分成三组共有：15＋60＋15＝90种不同的方法。
　　例３ 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？
　　　　解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有P(6,6)种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有C(3,5)种不同的“插入”方法。根据乘法原理共有P(6,6)*C(3,5)＝7200种不同的坐法。

小结：（１）ｍ个不同的元素必须相邻，有P(m,m) 种“捆绑”方法。
（２）ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置有 P(m,n)种不同的“插入”方法。
（３）ｍ个相同的元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置，有C(m,n)种不同的“插入”方法。
（４）若干个不同的元素“等分”为 ｍ个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以P(m,m)。

希望这篇博文对您有所帮助！！