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经典算法题每日演练——第一题 百钱买百鸡
百钱买百鸡的问题算是一套非常经典的不定方程的问题，题目很简单：公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡3只一文钱，
用100文钱买一百只鸡,其中公鸡，母鸡，小鸡都必须要有，问公鸡，母鸡，小鸡要买多少只刚好凑足100文钱。
分析：估计现在小学生都能手工推算这套题，只不过我们用计算机来推算，我们可以设公鸡为x，母鸡为y，小鸡为z，那么我们
可以得出如下的不定方程，
x+y+z=100,
5x+3y+z/3=100，
下面再看看x，y，z的取值范围。
由于只有100文钱，则5x<100 => 0<x<20, 同理 0<y<33,那么z=100-x-y，
好，我们已经分析清楚了，下面就可以编码了。
1 class Program 2 { 3 static void Main(string[] args) 4 { 5 //公鸡的上线 6 for (int x = 1; x < 20; x++) 7 { 8 //母鸡的上线 9 for (int y = 1; y < 33; y++)10 {11 //剩余小鸡12 var z = 100 - x - y;13 14 if ((z % 3 == 0) && (x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100))15 {16 Console.WriteLine("公鸡:{0}只，母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z);17 }18 }19 }20 Console.Read();21 }22 }
结果出来了，确实这道题非常简单，我们要知道目前的时间复杂度是O(N2),实际应用中这个复杂度是不能让你接受的，最多最多能让
人接受的是O(N)。
所以说我们必须要优化一下，从结果中我们可以发现这样的一个规律：公鸡是4的倍数,母鸡是7的递减率，小鸡是3的递增率，规律哪里
来，肯定需要我们推算一下这个不定方程。
x+y+z=100 ①
5x+3y+z/3=100 ②
令②x3-① 可得
7x+4y=100
=>y=25-(7/4)x ③
又因为0<y<100的自然数，则可令
x=4k ④
将④代入③可得
=> y=25-7k ⑤
将④⑤代入①可知
=> z=75+3k ⑥
要保证0<x，y，z<100的话，k的取值范围只能是1,2,3，下面我们继续上代码。
1 class Program 2 { 3 static void Main(string[] args) 4 { 5 int x, y, z; 6 7 for (int k = 1; k <= 3; k++) 8 { 9 x = 4 * k;10 y = 25 - 7 * k;11 z = 75 + 3 * k;12 13 Console.WriteLine("公鸡:{0}只，母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z);14 }15 16 Console.Read();17 }18 }
这一次我们做到了O(N)的时间复杂度，很不错，起码优化到了我能接受的范围内，或许我们感觉到了数学的魅力，是的，因为....
数学是科学的皇后。皇上自然就是物理了...
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