问一个主要的问题。

负数在计算机中怎样表示？

举例来说，+8在计算机中表示为二进制的1000，那么-8怎么表示呢？

非常easy想到，能够将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比方，在8位机中，规定每一个字节的最高位为符号位。那么，+8就是00001000，而-8则是10001000。

可是，随便找一本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部採用补码（Two‘s Complement）表示负数。

什么是补码？

它是一种数值的转换方法，要分二步完毕：

第一步，每个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比方，00001000的相反值就是11110111。

第二步，将上一步得到的值加1。11110111就变成11111000。

所以，00001000的补码就是11111000。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。

不知道你怎么看，反正我认为非常奇怪，为什么要採用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？

昨天，我在一本书里又看到了这个问题，然后就花了一点时间到网上找资料，如今总算彻底搞明确了。

补码的优点

首先，要明白一点。计算机内部用什么方式表示负数，事实上是无所谓的。仅仅要能够保持一一相应的关系，就能够用随意方式表示负数。所以，既然能够随意选择，那么理应选择一种最方便的方式。

补码就是最方便的方式。它的便利体如今，全部的加法运算能够使用同一种电路完毕。

还是以-8作为样例。

假定有两种表示方法。一种是直觉表示法，即10001000；还有一种是补码表示法，即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？

随便写一个计算式，16 + (-8) = ?

16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：

　０００１００００
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
　１００１１０００

能够看到，假设依照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这样的情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，另一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。

如今，再来看补码表示法。

　０００１００００
＋１１１１１０００
－－－－－－－－－
１００００１０００

能够看到，依照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自己主动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，补码表示法能够将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就能够实现所有整数的加法。

补码的本质

在回答补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。

要将正数转成相应的负数，事实上仅仅要用0减去这个数就能够了。比方，-8事实上就是0-8。

已知8的二进制是00001000，-8就能够用以下的式子求出：

　００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－

由于00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回顾一下小学算术，假设被减数的某一位小于减数，我们怎么办？非常easy，问上一位借1就能够了。

所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数事实上是100000000，算式也就改写成：

１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１１０００

进一步观察，能够发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子能够拆成两个：

　１１１１１１１１
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１０１１１
＋０００００００１
－－－－－－－－－
　１１１１１０００

补码的两个转换步骤就是这么来的。

为什么正数加法适用于补码？

实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)能够用X加上Y的补码完毕。

Y的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的补码，就等于：

X + (11111111-Y) + 1

我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1

接下来，分成两种情况讨论。

第一种情况，假设X小于Y，那么Z是一个负数。这时，我们就对Z採用补码的逆运算，求出它相应的正数绝对值，再在前面加上负号即可了。所以，

Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y

另外一种情况，假设X大于Y，这意味着Z肯定大于11111111，可是我们规定了这是8位机，最高的第9位是溢出位，必须被舍去，这相当于减去100000000。所以，

Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y

这就证明了，在正常的加法规则下，能够利用补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机仅仅要部署加法电路和补码电路，就能够完毕全部整数的加法。

（完）

精彩评论：

Z = X + (11111111-Y) + 1式子能够写为Z = X - Y +100000000，这在硬件上能够理解为两部分电路来实现，第一部分是前面的X - Y（这里姑且无论计算的结果是正还是负），第二部分是X - Y计算的结果再和100000000相加，终于得到计算的结果Z, 而在8位的计算机上100000000是不能出现的，事实上这时100000000就相当于00000000（舍去了最高位），然后我们再看一些计算的过程：
Z = X + （11111111 - Y) + 1
= X - Y + 100000000
= X - Y + 00000000
= X - Y
证毕。
这样我们就证明了X-Y或X+(-Y)能够用X加上Y的2的补码完毕，而不必分两种情况来证明。