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Vijos 1921 严厉的班长 【状态压缩动态规划】

2024-11-15 23:15:39   203人阅读

严厉的班长

描述

木姑娘在班级里面是班长。虽然是副班长，却有着比正班长更高的威信，并深受小朋友们的爱戴。

每天眼保健操时间，木姑娘都要监督所有小朋友认真做眼保健操。整个过程被描述为n个时间段，第i个时间段内对于揉捏穴位的速度被要求为a[i]。

如果某一位小朋友在n个时间段内，速度分别为b[1],b[2],...,b[n]，则他的最终得分为 score = |a[1]-b[1]| + |a[2]-b[2]| + ... + |a[n]-b[n]|。

分数越大，则说明表现越差，如果b[1]到b[n]中，又满足任意两个数字均互素，则会受到木姑娘的严厉批评。

对于爱慕木姑娘的孩子来说，能和木姑娘有更多时间待在一起，才是最关键的。

格式

输入格式

第一行一个整数n，1<=n<=100。

第二行有n个整数，分别为a[1],a[2],...,a[n]且对于每一个a[i]满足1<=a[i]<=30。

输出格式

希望可以找出来一组b[1],...,b[n]满足score最小化，且b数组中的n个元素两两互素，并输出此刻的分数score。

样例1

样例输入1

5
1 1 1 1 1
Copy

样例输出1

0
Copy

样例2

样例输入2

5
1 6 4 2 8
Copy

样例输出2

3
Copy

限制

25%的数据，n<=10。
60％的数据，n<=30。
100％的数据，n<=100。

来源

感谢 小岛

 

 

题目链接：

　　https://www.vijos.org/p/1921

题目大意：

　　题目给一个N个数的数列Ai，数大小不超过30，要求给出一组解Xi，使得解Xi Xj两两互质的情况下和原先数列的绝对值的差的和最小(min Σ|Ai-Xi|)，求这个和。

题目思路：

　　【状压DP】

　　首先考虑，因为要求两两互质，所以1肯定满足，那么取1<=Xi<2Ai-1(取2Ai-1和取1效果相同且更不易满足互质条件)

　　然后看2x30-1=59以内的质数，2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53 共16个。

　　也就是说当n>16时，多出来的必须用1，那么考虑数的大小可知尽量用1取对应小的数，于是排序的时候按从大到小排序，只做前16个，后面的全是1(当然前面也可以用1而不用质数)

　　所以问题转化为用16个质数的倍数去满足前16个数即可。将1~59质因数分解，记下每个数含有的质因数的二进制码，例如1为0，2为1，3为10，4为1，5为100，6为11 以此类推

　　DP的时候f[i][j]表示前i个数，质因数已经被选走的状态为j的最小和(j为16位二进制数)

　　考虑当前状态如果可行，就枚举当前的Xi，判断是否冲突，不冲突就更新新的f

　　

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 8 #include<bits/stdc++.h>
 9 #pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")
10 #define abs(a) ((a)>0?(a):(-(a)))
11 #define lowbit(a) (a&(-a))
12 #define sqr(a) ((a)*(a))
13 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
14 const double EPS=0.00001;
15 const int J=10;
16 const int MOD=100000007;
17 const int MAX=0x7f7f7f7f;
18 const double PI=3.14159265358979323;
19 const int N=104;
20 const int M=65544;
21 using namespace std;
22 typedef long long LL;
23 double anss;
24 LL aans;
25 int cas,cass;
26 int n,m,lll,ans;
27 int p[16]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53};
28 int a[N],fj[N];
29 int f[N][M];
30 void init()
31 {
32     int i,j,x;
33     for(i=1;i<59;i++)
34     {
35         x=i;
36         fj[i]=0;
37         for(j=0;j<16;j++)
38         {
39             while(x%p[j]==0)
40             {
41                 x/=p[j];
42                 fj[i]|=(1<<j);
43             }
44             if(x==1)break;
45         }
46     }
47 }
48 int main()
49 {
50     #ifndef ONLINE_JUDGE
51 //    freopen("1.txt","r",stdin);
52 //    freopen("2.txt","w",stdout);
53     #endif
54     int i,j,k;
55     int x,y,z;
56 //    for(scanf("%d",&cass);cass;cass--)
57 //    for(scanf("%d",&cas),cass=1;cass<=cas;cass++)
58     init();
59     while(~scanf("%d",&n))
60     {
61         mem(f,0x7f);
62         for(i=1;i<=n;i++)
63             scanf("%d",&a[i]);
64         sort(a+1,a+1+n,greater<int>());
65         f[0][0]=0;
66         for(i=1;i<=min(n,16);i++)
67         {
68             for(j=0;j<(1<<16);j++)
69             {
70                 if(f[i-1][j]==MAX)continue;
71                 for(k=1;k<=a[i]+a[i]-1;k++)
72                 {
73                     if(fj[k] & j)continue;
74                     f[i][j|fj[k]]=min(f[i][j|fj[k]],f[i-1][j]+abs(a[i]-k));
75                 }
76             }
77         }
78         ans=MAX;
79         for(i=0;i<(1<<16);i++)
80             ans=min(ans,f[min(n,16)][i]);
81         if(n>16)
82         {
83             for(i=17;i<=n;i++)
84                 ans+=a[i]-1;
85         }
86         printf("%d\n",ans);
87     }
88     return 0;
89 }
90 /*
91 //
92 
93 //
94 */
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