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POJ1845：Sumdiv（求因子和+逆元+质因子分解）好题
题目链接：http://poj.org/problem?id=1845
定义： 满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。
为什么要有乘法逆元呢？
当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。 我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，
即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。
题目解析：让求a^b的因子和modk，因为是大数没法直接求，因为求因子和函数是乘性函数，所以首先要质因子分解，化成n=p1^a1*p2^a2*p3^a3****Ps^as,那么
s(n)=[（p1^a1+1 -1)/(p1-1)]*[（p2^a2+1 -1)/(p2-1)]*[（p3^a3+1 -1)/(p3-1)]***[（ps^as+1 -1)/(ps-1)];（因子和）
又因为s(n)%mod等于每一个部分取模，所以可以逐步求解，如求（p1^a1+1 -1)/(p1-1)%mod,在这里就要运用除法取模所以要用到乘法逆元的概念，
即(a/b) %p= ( a *b^(-1)%p) ，又因为(a^b) % p = ((a % p)^b) % p ，
所以（p1^a1+1 -1)/(p1-1)%mod==((（p1%mod)^a1+1 -1)%mod*(p1-1)^-1)%mod;
当然存在逆元的前提是gcd(a,p)==1;
#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <algorithm>#include <math.h>#define N 500010#define mod 9901typedef __int64 ll;using namespace std;ll a,b,X,Y;ll ans[N],num[N],top;ll pow(ll x,ll k){ ll t=1; while(k) { if(k&1) t=((t%mod)*(x%mod))%mod; k>>=1; x=((x%mod)*(x%mod))%mod; } return t;}void extend(__int64 A,__int64 B,__int64 &x1, __int64 &y1){ if(B==0) { x1=1; y1=0; return ; } extend(B,A%B,x1,y1); ll t=x1; x1=y1; y1=t-(A/B)*y1; return ;}void solve(){ ll sum=1,A,xx; for(int i=0; i<top; i++) { if(ans[i]%mod==0) continue;//关键的两个判断，关系到求逆元。 如果ans[i]%mod=0,那么有等级公式可以看出，原式小于0，所以也只能利用原式求，结果为1 if(ans[i]%mod==1)//即mod|(ans[i]-1),因为ans[i]>=2,所以ans[i]不可能等于1,这是gcd(ans[i]-1,mod)==mod,不存在逆元，无法利用扩展欧几里得求逆元 { //这时为（1+ans[i]^1+ans[i]^2+.....+ans[i]^num[i])%mod=(num[i]+1)%mod; sum=(sum*(num[i]+1))%mod; continue; } A=pow(ans[i],num[i]+1); A=(A-1)%mod; extend(ans[i]-1,mod,X,Y);//因为ans[i]为素数，ans[i]-1为偶数，所以ans[i]-1与9901互质 xx=(X%mod+mod)%mod; A=((A%mod)*(xx%mod))%mod; sum=(sum*A)%mod; } printf("%I64d\n",sum);}int main(){ while(scanf("%I64d%I64d",&a,&b)!=EOF) { if(a==0) { printf("0\n"); continue; } else if(a==1||b==0) { printf("1\n"); continue; } ll t=a; top=0; memset(num,0,sizeof(num)); for(int i=2; i*i<=a; i++) { if(t%i==0) { num[top]++; ans[top]=i; t/=i; while(t%i==0) { num[top]++; t/=i; } top++; } } if(t>1) { num[top]++; ans[top++]=t; } for(int i=0; i<top; i++) { num[i]*=b; } solve(); } return 0;}
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