在各种算法中，向量计算是最经常使用的一种操作之中的一个。传统的向量计算，学过中学数学的同学也能明确怎么做。但在如今的大数据环境下。数据一般都会比較稀疏，因此稀疏向量的计算，跟普通向量计算。还是存在一些不同。

首先，我们定义两个向量：
A=[x1,x2,?,xn]<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">A=[x_1, x_2,\cdots,x_n]</script>
B=[y1,y2,?,yn]<script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">B=[y_1, y_2,\cdots,y_n]</script>
定义A、B的点积为A?B<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3">A*B</script>，要求A?B=?

<script type="math/tex" id="MathJax-Element-4">A*B=?</script>

最简单粗暴的方式

最直接的方式，当然就是按中学时候就学过的方法：
A?B=x1?y1+x2?y2+?+xn?yn<script type="math/tex" id="MathJax-Element-5">A*B=x_1*y1 + x_2*y_2 + \cdots + x_n*y_n</script>
先不考虑乘法与加法的差别，也不考虑计算精度问题。假设按上述方式进行计算。总共进行了n次乘法，n-1次加法，总复杂度为2n-1。矩阵乘法的基本计算单元是向量之间的乘法，复杂度为n3<script type="math/tex" id="MathJax-Element-6">n^3</script>。

在如今的大数据环境之下，n可能会非常大，比方在计算广告，或者文本分类中，上百万维都是非常正常的。并且这样的向量都有一个特点，那就是非常稀疏。

假设没有非常稀疏这个特点，那后面自然就无从谈起了。。。

第一种思路

对于稀疏向量。自然而然的能够想到按一下方式进行存储：
A:{<x1:location1>,<x2:location2>,?,<xi,locationi>}<script type="math/tex" id="MathJax-Element-7">A:\{,,\cdots,\}</script>
B:{<y1:location1>,<y2:location2>,?,<yj,locationj>}<script type="math/tex" id="MathJax-Element-8">B:\{,,\cdots,\}</script>
由于是稀疏向量。所以 i?n,j?n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-9">i \ll n,j \ll n</script>

详细在计算A*B的时候，能够在向量A中循环，然后在向量B中进行二分查找。比如，在向量A中取出第一个非零元素。假设为<x1,location1><script type="math/tex" id="MathJax-Element-10"></script>，在B中对location1进行二分。假设找到，计算乘积。假设找不到。自然为0.
那我们来估算一下算法的复杂度。在B中二分的复杂度为logj<script type="math/tex" id="MathJax-Element-11">logj</script>，A的长度为i<script type="math/tex" id="MathJax-Element-12">i</script>,则这部分的总复杂度为ilogj<script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">ilogj</script>，加法的最大情况为min(i,j)?1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-14">min(i,j)-1</script>,总的复杂度为ilogj+min(i,j)?1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-15">ilogj+min(i,j)-1</script>

继续优化

当然，假设我们知道i<script type="math/tex" id="MathJax-Element-16">i</script> , j<script type="math/tex" id="MathJax-Element-17">j</script> 的大小。能够在小的向量上循环，在大的向量上二分，这样复杂度能够减少为 min(i,j)log(max(i，j))+min(i,j)?1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-18">min(i,j)log(max(i，j))+min(i,j)-1</script>
假设咱们不用二分查找，而是使用hash，则二分查找部分能够变为hash。假设hash的复杂度为1，那么总的复杂度为2min(i,j)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-19">2min(i,j)</script>。当然。我们忽略了创建hash的复杂度。以及hash碰撞的复杂度。
这样，总的复杂度就由最初的2n?1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-20">2n-1</script>降到了2min(i,j)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-21">2min(i,j)</script>。

并行

假设n特别特别大，比方凤巢系统动不动就是号称上亿维度。这样i,j也不会特别小。假设是两个矩阵相乘。咱们前面提到的。复杂度为n3<script type="math/tex" id="MathJax-Element-27">n^3</script>，这样就必须上并行计算了。

搞数据的同学，对并行肯定不陌生，这里不再细述了。

代码验证

以上都是理论分析，为了验证实际中的执行效果。特意编写了一部分測试代码。測试代码例如以下

#!/usr/bin/env python
#coding:utf-8

‘‘‘
Created on 2016年4月22日

@author: lei.wang
‘‘‘

import time

#二分查找
def bin_search(num,list):
    low = 0
    high = len(list) - 1
    while(low <= high):
        middle = (low + high) / 2
        if list[middle] > num:
            high = middle - 1
        elif list[middle] < num:
            low = middle + 1
        else:
            return middle
    return -1

def t1():
    all = 1000000
    sparse_rate = 1000
    vec_a = [0 for i in range(all)]
    vec_b = [0 for i in range(all)]

    list_none_zero = [sparse_rate*i for i in range(all / sparse_rate)]
    for i in list_none_zero:
        vec_a[i] = vec_b[i] = 1

    sum = 0

    #a,b分别不为0的位置
    location_a = [i for i in range(0,all,sparse_rate)]
    location_b = [i for i in range(0,all,sparse_rate)]

    start = time.clock()
    for i in location_a:
        location = bin_search(i, location_b) #相应a不为0的位置。在b不为0的位置数组中查找是否存在
        if location != -1:
            sum += vec_a[i] * vec_b[location_b[location]] #假设存在，将结果相加
    end = time.clock()

    print "cost time is:",(end-start)
    print "sum is:",sum

def t2():
    all = 1000000
    sparse_rate = 1000
    vec_a = [0 for i in range(all)]
    vec_b = [0 for i in range(all)]

    list_of_none_zero = [sparse_rate*i for i in range(all / sparse_rate)]
    for i in list_of_none_zero:
        vec_a[i] = vec_b[i] = 1

    sum = 0

    start = time.clock()
    for i in range(all):
        sum += vec_a[i] * vec_b[i]
    end = time.clock()

    print "cost time is:",(end-start)
    print "sum is:",sum       

if __name__ == ‘__main__‘:
    t1()
    print
    print
    t2()

bin_search是自己实现的二分查找，t1方法是用上面说到的二分查找的方式，t2方法就是最简单的直接遍历相乘的方式。

在mac上执行以上代码。结果例如以下：

cost time is: 0.002319
sum is: 1000


cost time is: 0.123861
sum is: 1000

能够看出，遍历的方式是二分查找的方式的54倍！按上述咱们的分析方式，遍历的方式应该是2?106<script type="math/tex" id="MathJax-Element-251">2*10^6</script> 的复杂度。二分查找的方式应该是103?log1000<script type="math/tex" id="MathJax-Element-252">10^3 * log1000</script>，即104<script type="math/tex" id="MathJax-Element-253">10^4</script> 左右的复杂度。二分查找的方式比遍历的方式应该要快100倍左右。

依据咱们实验的结果来看，数量级上来说基本是差点儿相同的。假设採取一些优化方式。比方用python自带的binset模块,应该会有更快的速度。

假设改变上述代码中的稀疏度，即改变sparse_rate的数值，比如将sparse_rate由1000改为10000，执行的结果例如以下：

cost time is: 0.000227
sum is: 100


cost time is: 0.118492
sum is: 100

假设将sparse_rate改为100。执行的结果为：

cost time is: 0.034885
sum is: 10000


cost time is: 0.124176
sum is: 10000

非常easy看出来，对于遍历的方式来说。无论稀疏度为多少，耗时都是基本不变的。可是对于我们採用二分查找的方式来说，稀疏度越高，节省的计算资源，就越可观。