Given an array nums containing n + 1 integers where each integer is between 1 and n (inclusive), prove that at least one duplicate number must exist. Assume that there is only one duplicate number, find the duplicate one.

Note:

1. You must not modify the array (assume the array is read only).
2. You must use only constant, O(1) extra space.
3. Your runtime complexity should be less than O(n2).
4. There is only one duplicate number in the array, but it could be repeated more than once

一、二分法查找，如果有个数重复，那么这个数肯定在前半部分或者后半部分，当在前半部分时，数组中小于等于中间数（这里的中间数指的是1-n中间的那个数）的个数应该大于中间数，通过遍历数组查找小于等于中间数的个数，再和中间数比较，如果中间数大，说明在前半部分，这时要改变mid的值。中间数mid的值得求法：mid = min + (max - min)/2,要改变mid可以通过改变max和mid，在前半部分时就max=mid，在后半部分就min = mid+1，最后当min = max时就找到了重复的数了。

public class Solution {
    public int findDuplicate(int[] nums) {
        int l = nums.length;
        int mid = 0;
        int min = 1;
        int max = l-1;
        while(min < max)
        {
            int count = 0;
            mid = min + (max - min)/2;
            for(int i = 0;i<l;i++)
            {
                if(nums[i] <= mid)
                count ++;
            }
            if(count > mid)
            {
                max = mid;
            }
            else
            min = mid +1;
        }
        return min;
    }
}

二、找环路起点法

假设数组中没有重复，那我们可以做到这么一点，就是将数组的下标和1到n每一个数一对一的映射起来。比如数组是213,则映射关系为0->2, 1->1, 2->3。假设这个一对一映射关系是一个函数f(n)，其中n是下标，f(n)是映射到的数。如果我们从下标为0出发，根据这个函数计算出一个值，以这个值为新的下标，再用这个函数计算，以此类推，直到下标超界。实际上可以产生一个类似链表一样的序列。比如在这个例子中有两个下标的序列，0->2->3。

但如果有重复的话，这中间就会产生多对一的映射，比如数组2131,则映射关系为0->2, {1，3}->1, 2->3。这样，我们推演的序列就一定会有环路了，这里下标的序列是0->2->3->1->1->1->1->...，而环的起点就是重复的数。

所以该题实际上就是找环路起点的题，和Linked List Cycle II一样。我们先用快慢两个下标都从0开始，快下标每轮映射两次，慢下标每轮映射一次，直到两个下标再次相同。这时候保持慢下标位置不变，再用一个新的下标从0开始，这两个下标都继续每轮映射一次，当这两个下标相遇时，就是环的起点，也就是重复的数。

下边是找环路起点的经典做法，要记住

int slow = nums[0];
int fast = nums[nums[0]];
while(slow != fast)
{
    slow = nums[slow];
    fast = nums[nums[fast]];
}
 fast = 0;
 while(slow != fast)
{
    slow = nums[slow];
    fast = nums[fast];
}
 return slow;

287. Find the Duplicate Number