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斐波拉契数列的计算方法

面试题9、斐波拉契数列

题目:

输入整数n,求斐波拉契数列第n个数。

思路:

一、递归式算法:

利用f(n) = f(n-1) + f(n-2)的特性来进行递归,代码如下:

代码:

long long Fib(unsigned int n)
{
    if(n<=0)
        return 0;
    if(n==1)
        return 1;
    return Fib(n-1) + Fib(n-2);
}

缺陷:

当n比较大时递归非常慢,因为递归过程中存在很多重复计算。

二、改进思路:

应该采用非递归算法,保存之前的计算结果,用空间换时间。

代码如下:

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int num1 = 0;
    int num2 = 1;
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        int tmp = num1 + num2;
        num1 = num2;
        num2 = tmp;
    }
    printf("%d", num2);
}

相似题目:

1、青蛙跳台阶,一次可以跳1或者2格,共n阶台阶,问有多少种上台阶的方法?

思路:从后往前想,f(n) = f(n-1) + f(n-2),转换成同样的题目了。

2、矩形覆盖问题,用21的矩形来覆盖28的矩形,小矩形可以横着或竖着来覆盖,问有多少种方法去覆盖?

思路:横着覆盖就变成了f(8) = 1+f(8-2),竖着变成f(8) = 1 + f(8-1),所以f(8) = f(8-1) + f(8-2)。

转载来源:http://www.cnblogs.com/puyangsky/p/5826466.html

 

题目要求:

  写一个函数,输入n,求斐波拉契数列的第n项。斐波拉契数列的定义如下:

  技术分享

  参考资料:剑指offer第9题、编程之美2.9

题目分析:

  方法1:递归法,效率很低,而且会计算很多重复;

#include <stdio.h>

#define uint64 unsigned __int64 

uint64 Fibonacci(int n);

int main(void)
{
    int n;

    while(1)
    {
        printf("请输入n值:");
        scanf("%d",&n);

        printf("n = %d,Fibonacci(n) = %I64u\n",n,Fibonacci(n));    
    }    
    return 0;
}
uint64 Fibonacci(int n)
{
    if(n <= 0)
        return 0;
    else if(n == 1)
        return 1;
    else
        return (Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2));
}

  方法2:迭代法,通过保存中间项避免重复计算,时间复杂度O(n);

#include <stdio.h>
#include <assert.h>

int main(void)
{
    int n,i = 0;
    int x,y;

    while(1)
    {
        printf("请输入n值:");
        scanf("%d",&n);
        assert((n >= 0) && (n <= 92));//用这种方法的n最大为92,否则就溢出了。

        i = 0;
        x = 0;
        y = 1;
        while(i < n)
        {
            y = x+y;
            x = y-x;
            i++;
        }
        if(n <= 0)
            y = x;
        printf("n = %d,Fibonacci(n) = %d\n",n,y);

    }    
    return 0;
}

  方法3:公式法,时间复杂度O(1),因为公式中引入了无理数,所以不能保证结果的精度;

#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <math.h>

double Pow(double x,unsigned int n);

int main(void)
{
    int n;
    int fibo;
    double a,b,c;
    a = sqrt(5.0);
    b = (1+a)/2;
    c = (1-a)/2;
    while(1)
    {
        printf("请输入n值:");
        scanf("%d",&n);
        assert((n >= 0));
        
        int x = pow(b,n);
        int y = pow(c,n);
        fibo = (int)(a*(Pow(b,n)-Pow(c,n))/5);
        printf("n = %d,fibonacci(n) = %d\n",n,fibo);
    }    
    return 0;
}
double Pow(double x,unsigned int n)
{
    double result = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 0x01)
            result *= x;
        x  = x*x;
        n >>= 1;
    }
    return result;
}

  方法4:分治策略,可以用矩阵来表示技术分享,则技术分享,(这个式子是通过计算A、A2、A3、、、观察出来的)其中技术分享,则上面这个式子可以表示为:技术分享

则F2 = Y2_11 = A(11表示矩阵的第1行1列元素).

     现在剩下的问题就是求An了,可以把n用二进制表示:n = ak*2^k + ak-1*2^k-1 + ... + a1*2 + a0,其中ai = 0 或1 ,i = 0,1,2... k。例如:n = 5 = b’101 = 1*22 + 0*21+1*20。这样技术分享

则,我们知道An最多经过log2n乘法就能够得到,而不用A*A*A这样计算n次。

代码实现:

 

#include <stdio.h>
#include <assert.h>

const int MAXLENGTH = 10;

struct Matrix 
{
    unsigned side;
    __int64 dat[MAXLENGTH*MAXLENGTH];//也可以用行/列来表示(row、line),会更方便一点。
};

// 方阵的乘法 
void MatrixMult(const Matrix a, const Matrix b, Matrix &m)
{
    unsigned int i,j,k;
    assert(a.side == b.side);
    m.side = a.side;
    for (i=0; i < m.side; ++i)
        for (j=0; j < m.side; ++j)
        {
            m.dat[i*m.side+j] = 0;
            for (k=0; k<m.side; ++k)
                m.dat[i*m.side+j] += a.dat[i*a.side+k]*b.dat[k*b.side+j];
        }
}

__int64 Fibonaci(unsigned n)
{
    if (n==0) 
        return 0;

    --n;    // 计算矩阵prod的n-1次幂

    Matrix res;    
    res.side = 2;
    res.dat[0] = 1; res.dat[1] = 0; 
    res.dat[2] = 0; res.dat[3] = 1;

    Matrix prod;        
    prod.side = 2;
    prod.dat[0] = 1;  prod.dat[1] = 1;
    prod.dat[2] = 1;  prod.dat[3] = 0;

    // 只需要O(logn)的复杂度就能算出x的n次幂  
    while (n)
    {
        // 如果n的最低二进制位为1,则乘上对应的幂次prod
        if (n&1) MatrixMult(res, prod, res);
        MatrixMult(prod, prod, prod);
        n >>= 1;
    }
    return res.dat[0];
}

int main(void)
{
    int i;

    for(i = 0;i < 20;i++)
    {
        printf("%I64u\n",Fibonaci(i));
    }
    
    return 0;
}
转载来源:http://www.cnblogs.com/tractorman/p/4058305.html

斐波拉契数列的计算方法