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斐波拉契数列的计算方法
面试题9、斐波拉契数列
题目：
输入整数n，求斐波拉契数列第n个数。
思路：
一、递归式算法：
利用f(n) = f(n-1) + f(n-2)的特性来进行递归，代码如下：
代码：
long long Fib(unsigned int n) { if(n<=0) return 0; if(n==1) return 1; return Fib(n-1) + Fib(n-2); }
缺陷：
当n比较大时递归非常慢，因为递归过程中存在很多重复计算。
二、改进思路：
应该采用非递归算法，保存之前的计算结果，用空间换时间。
代码如下：
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> using namespace std; int main() { int n; scanf("%d", &n); int num1 = 0; int num2 = 1; for(int i=2;i<n;i++) { int tmp = num1 + num2; num1 = num2; num2 = tmp; } printf("%d", num2); }
相似题目：
1、青蛙跳台阶，一次可以跳1或者2格，共n阶台阶，问有多少种上台阶的方法？
思路：从后往前想，f(n) = f(n-1) + f(n-2)，转换成同样的题目了。
2、矩形覆盖问题，用21的矩形来覆盖28的矩形，小矩形可以横着或竖着来覆盖，问有多少种方法去覆盖？
思路：横着覆盖就变成了f(8) = 1+f(8-2)，竖着变成f(8) = 1 + f(8-1)，所以f(8) = f(8-1) + f(8-2)。
题目要求：
写一个函数，输入n，求斐波拉契数列的第n项。斐波拉契数列的定义如下：
参考资料：剑指offer第9题、编程之美2.9
题目分析：
方法1：递归法，效率很低，而且会计算很多重复；
#include <stdio.h> #define uint64 unsigned __int64 uint64 Fibonacci(int n); int main(void) { int n; while(1) { printf("请输入n值："); scanf("%d",&n); printf("n = %d,Fibonacci(n) = %I64u\n",n,Fibonacci(n)); } return 0; } uint64 Fibonacci(int n) { if(n <= 0) return 0; else if(n == 1) return 1; else return (Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2)); }
方法2：迭代法，通过保存中间项避免重复计算，时间复杂度O(n);
#include <stdio.h> #include <assert.h> int main(void) { int n,i = 0; int x,y; while(1) { printf("请输入n值："); scanf("%d",&n); assert((n >= 0) && (n <= 92));//用这种方法的n最大为92，否则就溢出了。 i = 0; x = 0; y = 1; while(i < n) { y = x+y; x = y-x; i++; } if(n <= 0) y = x; printf("n = %d,Fibonacci(n) = %d\n",n,y); } return 0; }
方法3：公式法，时间复杂度O(1),因为公式中引入了无理数，所以不能保证结果的精度；
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <math.h>
double Pow(double x,unsigned int n);
int main(void)
{
int n;
int fibo;
double a,b,c;
a = sqrt(5.0);
b = (1+a)/2;
c = (1-a)/2;
while(1)
{
printf("请输入n值：");
scanf("%d",&n);
assert((n >= 0));
int x = pow(b,n);
int y = pow(c,n);
fibo = (int)(a*(Pow(b,n)-Pow(c,n))/5);
printf("n = %d,fibonacci(n) = %d\n",n,fibo);
}
return 0;
}
double Pow(double x,unsigned int n)
{
double result = 1;
while(n)
{
if(n & 0x01)
result *= x;
x = x*x;
n >>= 1;
}
return result;
}
方法4：分治策略，可以用矩阵来表示
,则
,(这个式子是通过计算A、A2、A3、、、观察出来的)其中
，则上面这个式子可以表示为：
则F2 = Y2_11 = A（11表示矩阵的第1行1列元素）.
现在剩下的问题就是求An了，可以把n用二进制表示：n = ak*2^k + ak-1*2^k-1 + ... + a1*2 + a0，其中ai = 0 或1 ，i = 0,1,2... k。例如：n = 5 = b’101 = 1*22 + 0*21+1*20。这样
则，我们知道An最多经过log2n乘法就能够得到，而不用A*A*A这样计算n次。
代码实现：
#include <stdio.h> #include <assert.h> const int MAXLENGTH = 10; struct Matrix { unsigned side; __int64 dat[MAXLENGTH*MAXLENGTH];//也可以用行/列来表示(row、line)，会更方便一点。 }; // 方阵的乘法 void MatrixMult(const Matrix a, const Matrix b, Matrix &m) { unsigned int i,j,k; assert(a.side == b.side); m.side = a.side; for (i=0; i < m.side; ++i) for (j=0; j < m.side; ++j) { m.dat[i*m.side+j] = 0; for (k=0; k<m.side; ++k) m.dat[i*m.side+j] += a.dat[i*a.side+k]*b.dat[k*b.side+j]; } } __int64 Fibonaci(unsigned n) { if (n==0) return 0; --n; // 计算矩阵prod的n-1次幂 Matrix res; res.side = 2; res.dat[0] = 1; res.dat[1] = 0; res.dat[2] = 0; res.dat[3] = 1; Matrix prod; prod.side = 2; prod.dat[0] = 1; prod.dat[1] = 1; prod.dat[2] = 1; prod.dat[3] = 0; // 只需要O(logn)的复杂度就能算出x的n次幂 while (n) { // 如果n的最低二进制位为1，则乘上对应的幂次prod if (n&1) MatrixMult(res, prod, res); MatrixMult(prod, prod, prod); n >>= 1; } return res.dat[0]; } int main(void) { int i; for(i = 0;i < 20;i++) { printf("%I64u\n",Fibonaci(i)); } return 0; }
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