>>巴什博奕（Bash Game）:

    >问题描述：有一堆n个物品，两个人轮流从这堆取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

    >分析：如果n=m+1，由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。那么游戏取胜的法则就是：如果n=（m+1）r+s，（s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

    >同类游戏：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

练习：hdu 1856 Brave Game

>>威佐夫博奕（Wythoff Game）：

    >问题描述：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

    >分析：我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对

（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、

（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面

出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，奇异局势有如下三条性质：

    1.任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

    由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。

    2.任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

    事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

    3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

    假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b  – bk个物体，即变为奇异局势；如果 a = ak ，  b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak – ab – ak个物体,变为奇异局势（ ab – ak , ab – ak+ b – ak）；如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a – ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – aj 即可。

    从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，…,n 方括号表示取整函数）奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1。618…,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

练习：hdu 2177 取(2堆)石子游戏

>>尼姆博奕（Nimm Game）：

    >>问题描述：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

    >>有n堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多（或者最多m个，只需把每堆%m）的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。(把每堆数量求异或a1^a2^...^ai‘^...^an，结果为零则先手必输，否则必赢) 

来源：点击打开链接

     >>这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结果：

        1 =二进制01
        2 =二进制10
        3 =二进制11 （+）
        ———————
        0 =二进制00 （注意不进位）

    对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（a（+）b）即可。

       例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势（14，21，27）。

        例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势（55，81，102）。

       例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，4

5，48）。

       例4。我们来实际进行一盘比赛看看：
        甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势
        乙:(1,8,9)->(1,8,4)
        甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势
        乙:(1,5,4)->(1,4,4)
        甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势
        乙:(0,4,4)->(0,4,2)
        甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势
        乙:(0,2,2)->(0,2,1)
        甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势
        乙:(0,1,1)->(0,1,0)
        甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势
        甲胜。

练习：1.hdu 1907 John    2.hdu 2176 取(m堆)石子游戏

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第一次看博弈，表示一头雾水。。。。。