对于一个n*n的矩阵，其中只包含有0,1两种元素且，所有的0都在1之前，请找出矩阵中0最多的一行。(Given an N-by-N matrix of 0s and 1s such that in each row no 0 comes before a 1, find the row with the most 0s in O(N) time.)

初看这题，想到的算法就是每一行都设置一个计数器，记录每行的0的个数，然后找出最大值即可(暴力解法)。

算法实现：

int* find_the_longest_row_force(int **a, int n)
{
	int* res = new int[2];
	res[0] = res[1] = -1;
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		int max = 0;
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			if(a[i][j] == 0)
				max++;
		}
		if(max > res[1] && max!=0)
		{
			res[1] = max;
			res[0] = i+1;
		}
	}
	if(res[0] == -1)
		res[1] = -1;
	return res;
}

首先由于矩阵中只含有0和1两个元素，且0在1之前，因此每一行都是排好序的，为此每行都使用二分查找，找到每行的最后一个0所在的位置，这个位置即为每行0的长度，如此循环查找n行，即可得到最长的一行的位置以及相应的0的长度。

算法实现

int* find_the_longest_row_search(int** a, int n)
{
	int* res = new int[2];
	res[0] = res[1] = -1;
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		int low = 0;
		int high = n-1;
		int temp_loc = -1;
		while(low <= high)
		{
			int mid = (low + high)/2;
			if(a[i][mid] > 0)
				high = mid -1;
			else
			{
				if(mid > temp_loc)
					temp_loc = mid;
				low = mid + 1;
			}
		}
		if(temp_loc > res[1])
		{	
			res[1] = temp_loc;
			res[0] = i+1;
		}
	}
	if(res[0] != -1)
		res[1] = res[1]+1;
	return res;
}

上述算法实现的过程中，有一个循环，循环里面运行的是二分查找，时间复杂度为O(logn)，总共循环n次，因此总的算法的时间复杂度为O(nlogn)。与暴力算法相比，有了一定的提高。那这是不是最优的算法呢？

其实是有的，仔细想想，我们对每一行都进行二分查找似乎是多余的，比如说第一行的0的长度为10，那么我只要看第二行在10的位置是否为0，如果不为0，则这一行的0的个数就小于第一个行，如果大于0，那就继续在这行往后查找0。由此可得一个新的算法。

首先从左上角的第一个元素开始查看，如果为0，则向右查看，否则向下查看，如此循环，直到到达矩阵的边界为止。

算法实现：

int* find_the_longest_row_0(int** a, int n)
{
	int* res = new int[2];
	res[0]=-1;
	res[1] =-1; 
	int i=0,j=0;
	while (i<n && j<n)
	{
		if(a[i][j] == 0)
		{
			j++;
			res[0] = i+1;
		}
		else
		{
			i++;
		}
	}
	if(res[0] != -1)
		res[1] = j;
	return res;
}

测试代码：

#include <iostream>
#include<stdlib.h>
#include <time.h>
#include <string>
using namespace std;
int* find_the_longest_row_force(int **a, int n);
int* find_the_longest_row_search(int** a, int n);
int** Create_matrix(const int n);
void print(int** a, const int n);
int* find_the_longest_row_0(int** a, int n);
void main()
{
	int n;
	cout<<"Input the n: (exit 0)";
	cin>>n;
	while(n>0)
	{
		int** a = Create_matrix(n);
		print(a,n);
		const string name[3] = {"Force","Search","Best"};
		int* (*(p[3]))(int**,int) = {find_the_longest_row_force,find_the_longest_row_search,find_the_longest_row_0};
		int* res;
		for(int i=0; i<3; i++)
		{
			res = p[i](a,n);
			cout<<name[i]<<": "<<endl;
			cout<<"The longest row is :"<<res[0]<<endl
				<<"The length is :"<<res[1]<<endl;
		}
		delete[] res;
		for(int i=0; i<n; i++)
			delete[] a[i];
		cout<<"Input the n: (exit 0)";
		cin>>n;
	}
}

int** Create_matrix(const int n)
{
	int** a = new int*[n];
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		a[i] = new int[n];
		srand(i);
		int index = rand()%n;
		for(int j=0; j<n; j++)
		{
			if(j<index)
				a[i][j] = 0;
			else
				a[i][j] = 1;
		}
	}
	return a;
}
void print(int** a, const int n)
{
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		for(int j=0; j<n; j++)
			cout<<a[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
}

找出矩阵中含有0最多的一行(find the longest row of zero)