逻辑回归是一个分类算法，它可以处理二元分类以及多元分类。虽然它名字里面有“回归”两个字，却不是一个回归算法。那为什么有“回归”这个误导性的词呢？个人认为，虽然逻辑回归是分类模型，但是它的原理里面却残留着回归模型的影子，本文对逻辑回归原理做一个总结。

1. 从线性回归到逻辑回归

　　　　我们知道，线性回归的模型是求出输出特征向量Y和输入样本矩阵X之间的线性关系系数\(\theta\)，满足\(\mathbf{Y = X\theta}\)。此时我们的Y是连续的，所以是回归模型。如果我们想要Y是离散的话，怎么办呢？一个可以想到的办法是，我们对于这个Y再做一次函数转换，变为\(g(Y)\)。如果我们令\(g(Y)\)的值在某个实数区间的时候是类别A，在另一个实数区间的时候是类别B，以此类推，就得到了一个分类模型。如果结果的类别只有两种，那么就是一个二元分类模型了。逻辑回归的出发点就是从这来的。下面我们开始引入二元逻辑回归。

2. 二元逻辑回归的模型

　　　　上一节我们提到对线性回归的结果做一个在函数g上的转换，可以变化为逻辑回归。这个函数g在逻辑回归中我们一般取为sigmoid函数，形式如下：

　　　　\(g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}\) 

　　　　它有一个非常好的性质，即当z趋于正无穷时，\(g(z)\)趋于1，而当z趋于负无穷时，\(g(z)\)趋于0，这非常适合于我们的分类概率模型。另外，它还有一个很好的导数性质：

　　　　\(g^{‘}(z) = g(z)(1-g(z))\) 

　　　　这个通过函数对\(g(z)\)求导很容易得到，后面我们会用到这个式子。

　　　　如果我们令\(g(z)\)中的z为：\({z = x\theta}\)，这样就得到了二元逻辑回归模型的一般形式：

　　　　\(h_{\theta}(x) = \frac{1}{1+e^{-x\theta}}\) 

　　　　其中x为样本输入，\(h_{\theta}(x)\)为模型输出，可以理解为某一分类的概率大小。而\(\theta\)为分类模型的要求出的模型参数。对于模型输出\(h_{\theta}(x)\)，我们让它和我们的二元样本输出y（假设为0和1）有这样的对应关系，如果\(h_{\theta}(x) >0.5\) ，即\(x\theta > 0\), 则y为1。如果\(h_{\theta}(x) < 0.5\)，即\(x\theta < 0\), 则y为0。y=0.5是临界情况，此时\(x\theta = 0\)为， 从逻辑回归模型本身无法确定分类。

　　　　\(h_{\theta}(x)\)的值越小，而分类为0的的概率越高，反之，值越大的话分类为1的的概率越高。如果靠近临界点，则分类准确率会下降。

　　　　此处我们也可以将模型写成矩阵模式：

　　　　\(h_{\theta}(X) = \frac{1}{1+e^{-X\theta}}\) 

　　　　其中\(h_{\theta}(X)\)为模型输出，为 mx1的维度。X为样本特征矩阵，为mxn的维度。\(\theta\)为分类的模型系数，为nx1的向量。

　　　　理解了二元分类回归的模型，接着我们就要看模型的损失函数了，我们的目标是极小化损失函数来得到对应的模型系数\(\theta\)。

3. 二元逻辑回归的损失函数

　　　　回顾下线性回归的损失函数，由于线性回归是连续的，所以可以使用模型误差的的平方和来定义损失函数。但是逻辑回归不是连续的，自然线性回归损失函数定义的经验就用不上了。不过我们可以用最大似然法来推导出我们的损失函数。

　　　　我们知道，按照第二节二元逻辑回归的定义，假设我们的样本输出是0或者1两类。那么我们有：

　　　　\(P(y=1|x,\theta ) = h_{\theta}(x)\)

　　　　\(P(y=0|x,\theta ) = 1- h_{\theta}(x)\)

　　　　 把这两个式子写成一个式子，就是：

　　　　\(P(y|x,\theta ) = h_{\theta}(x)^y(1-h_{\theta}(x))^{1-y}\)

　　　　其中y的取值只能是0或者1。

　　　　用矩阵法表示，即为：

　　　　\(P(Y|X,\theta ) = h_{\theta}(X)^Y(E-h_{\theta}(X))^{1-Y}\),其中E为单位矩阵。

　　　　得到了y的概率分布函数表达式，我们就可以用似然函数最大化来求解我们需要的模型系数\(\theta\)。

　　　　为了方便求解，这里我们用对数似然函数最大化，对数似然函数取反即为我们的损失函数\(J(\theta\))。其中：

　　　　似然函数的代数表达式为：

　　　　\(L(\theta) = \prod\limits_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)}))^{y^{(i)}}(1-h_{\theta}(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}\)

　　　　其中m为样本的个数。

　　　　对似然函数对数化取反的表达式，即损失函数表达式为：

　　　　\(J(\theta) = -lnL(\theta) = -\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)}log(h_{\theta}(x^{(i)}))+ (1-y^{(i)})log(1-h_{\theta}(x^{(i)})))\)

 　　　　损失函数用矩阵法表达更加简洁：

　　　　\(J(\theta) = -Y\bullet logh_{\theta}(X) - (E-Y)\bullet log(E-h_{\theta}(X))\)

　　　　其中E为单位矩阵,\(\bullet\)为内积。

4. 二元逻辑回归的损失函数的优化方法

　　　　对于二元逻辑回归的损失函数极小化，有比较多的方法，最常见的有梯度下降法，坐标轴下降法，等牛顿法等。这里推导出梯度下降法中\(\theta\)每次迭代的公式。由于代数法推导比较的繁琐，我习惯于用矩阵法来做损失函数的优化过程，这里给出矩阵法推导二元逻辑回归梯度的过程。

　　　　对于\(J(\theta) = -Y\bullet logh_{\theta}(X) - (1-Y)\bullet log(E-h_{\theta}(X))\)，我们用\(J(\theta)\)对\(\theta\)向量求导可得：

　　　　\(\frac{\partial}{\partial\theta}J(\theta) = -Y \bullet X^T\frac{1}{h_{\theta}(X)}h_{\theta}(X)(1-h_{\theta}(X)) + (E-Y)\bullet X^T\frac{1}{1-h_{\theta}(X)}h_{\theta}(X)(1-h_{\theta}(X))\)

　　　　这一步我们用到了矩阵求导的链式法则，和下面三个矩阵求导公式：

　　　　\(\frac{\partial}{\partial X}logX = 1/X\)

　　　　\(\frac{\partial}{\partial z}g(z) = g(z)(1-g(z))   (g(z)为sigmoid函数) \) 

　　　　\(\frac{\partial}{\partial\theta}X\theta = X^T\)

　　　　对于刚才的求导公式我们进行化简可得：

　　　　\(\frac{\partial}{\partial\theta}J(\theta) = X^T(h_{\theta}(X) - Y )\)

　　　　从而在梯度下降法中每一步向量\(\theta\)的迭代公式如下：

　　　　\(\theta = \theta - \alpha X^T(h_{\theta}(X) - Y )\)

　　　　其中，\(\alpha\)为梯度下降法的步长。

　　　　实践中，我们一般不用操心优化方法，大部分机器学习库都内置了各种逻辑回归的优化方法，不过了解至少一种优化方法还是有必要的。

5. 二元逻辑回归的正则化

　　　　逻辑回归也会面临过拟合问题，所以我们也要考虑正则化。常见的有L1正则化和L2正则化。

　　　　逻辑回归的L1正则化的损失函数表达式如下，相比普通的逻辑回归损失函数，增加了L1的范数做作为惩罚，超参数\(\alpha\)作为惩罚系数，调节惩罚项的大小。

　　　　二元逻辑回归的L1正则化损失函数表达式如下：

　　　　\(J(\theta) = -Y\bullet logh_{\theta}(X) - (E-Y)\bullet log(1-h_{\theta}(X)) + \alpha||\theta||_1\)

　　　　其中\(||\theta||_1\)为\(\theta\)的L1范数。

　　　　逻辑回归的L1正则化损失函数的优化方法常用的有坐标轴下降法和最小角回归法。

　　　　二元逻辑回归的L2正则化损失函数表达式如下：

　　　　\(J(\theta) = -Y\bullet logh_{\theta}(X) - (E-Y)\bullet log(1-h_{\theta}(X)) + \frac{1}{2}\alpha||\theta||_2^2\)

　　　　其中\(||\theta||_2\)为\(\theta\)的L2范数。

　　　　逻辑回归的L2正则化损失函数的优化方法和普通的逻辑回归类似。

6. 二元逻辑回归的推广：多元逻辑回归

　　　　前面几节我们的逻辑回归的模型和损失函数都局限于二元逻辑回归，实际上二元逻辑回归的模型和损失函数很容易推广到多元逻辑回归。比如总是认为某种类型为正值，其余为0值，这种方法为最常用的one-vs-reset，简称OvR.

　　　　回顾下二元逻辑回归。

　　　　\(P(y=1|x,\theta ) = h_{\theta}(x) =  \frac{1}{1+e^{-x\theta}} = \frac{e^{x\theta}}{1+e^{x\theta}}\)

　　　　\(P(y=0|x,\theta ) = 1- h_{\theta}(x) = \frac{1}{1+e^{x\theta}}\)

　　　　其中y只能取到0和1。则有：

　　　　\(ln\frac{P(y=1|x,\theta )}{P(y=0|x,\theta)} = x\theta\)

　　　　如果我们要推广到多元逻辑回归，则模型要稍微做下扩展。

　　　　我们假设是K元分类模型,即样本输出y的取值为1，2，。。。，K。

　　　　根据二元逻辑回归的经验，我们有：

　　　　\(ln\frac{P(y=1|x,\theta )}{P(y=K|x,\theta)} = x\theta_1\)

　　　　\(ln\frac{P(y=2|x,\theta )}{P(y=K|x,\theta)} = x\theta_2\)　

　　　　...

　　　　\(ln\frac{P(y=K-1|x,\theta )}{P(y=K|x,\theta)} = x\theta_{K-1}\)　

　　　　上面有K-1个方程。

　　　　加上概率之和为1的方程如下：

　　　　\(\sum\limits_{i=1}^{K}P(y=i|x,\theta ) = 1\)

　　　　从而得到K个方程，里面有K个逻辑回归的概率分布。

　　　　解出这个K元一次方程组，得到K元逻辑回归的概率分布如下：

　　　　\(P(y=k|x,\theta ) =  e^{x\theta_k} \bigg/ 1+\sum\limits_{t=1}^{K-1}e^{x\theta_t}\)　 k = 1,2,...K-1

　　　　\(P(y=K|x,\theta ) =  1 \bigg/ 1+\sum\limits_{t=1}^{K-1}e^{x\theta_t}\)

　　　　多元逻辑回归的损失函数推导以及优化方法和二元逻辑回归类似，这里就不累述。

7.小结

　　　　逻辑回归尤其是二元逻辑回归是非常常见的模型，训练速度很快，虽然使用起来没有支持向量机（SVM）那么占主流，但是解决普通的分类问题是足够了，训练速度也比起SVM要快不少。如果你要理解机器学习分类算法，那么第一个应该学习的分类算法个人觉得应该是逻辑回归。理解了逻辑回归，其他的分类算法再学习起来应该没有那么难了。

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逻辑回归原理小结